快乐假期7 向量的内积-【快乐假期】2023中职高一数学暑假小作业（新教材）

　　　　　　快乐假期７　向量的内积 ●[每日一语]　千万不要对还没发生的事情过分期待,也不要对没有发生的事情过分焦虑． １．向量的内积 (１)两个向量的夹角 设a与b为两个非零向量,在平面上任取一 点O,作OA → ＝a,OB → ＝b． 如图,则 ∠AOB 叫做a 与b 的夹角,记作 　　　　． (２)两个向量夹角的取值范围是　　　　,即０ ≤‹a,b›≤π． 当‹a,b›＝　　　　时,a与b同向; 当‹a,b›＝　　　　时,a与b反向; 当‹a,b›＝　　　　时,a 与b 垂直,记作 　　　　． (３)向量的内积定义 已知a与b为两个非零向量,则数量　　　　 叫做a与b的内积,也称为a与b 的数量积 或点积,记作a􀅰b,即a􀅰b＝　　　　． 在上面公式中,|b|cos‹a,b›叫做向量b在向 量a方向上的正射影的数量． 规定零向量与任何向量的内积为０,即０􀅰a ＝０． ２．向量内积的性质 　设a,b是两个非零向量,则 (１)a⊥b⇔　　　　; (２)cos‹a,b›＝　　　　; (３)a􀅰a＝　　　　或|a|＝ a􀅰a; (４)|a􀅰b|≤|a||b|． ３．向量内积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝b􀅰a; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝　　　　＝　　　　; (３)分配律:(a＋b)􀅰c＝　　　　; (４)不满足组合律:(a􀅰b)􀅰c≠a􀅰(b􀅰c),也不 满足消去律:a􀅰b＝a􀅰c⇒/b＝c． ４．向量内积满足乘法公式 (１)(a＋b)􀅰(a－b)＝　　　　; (２)|a＋b|２＝　　　　　　　　; (３)|a－b|２＝　　　　　　　　; (４)|a＋b＋c|２＝ 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．已知|a|＝ ３,|b|＝２ ３,a 与b 的夹角是 １２０°,则a􀅰b等于 (　　) A．３　　B．－３　　C．－３ ３　　D．３ ３ ２．在等腰△ABC 中,∠C＝１２０°,AC＝４,则AB →􀅰 AC → 等于 (　　) A．２４ B．－１２ C．１６ D．－２４ ３．若两个向量a、b满足|a|＝１,|b|＝６,a􀅰b＝３, 则a与b的夹角是 (　　) A．π６　　　B． π ４　　　C． π ３　　　D． π ２ ４．在△ABC中,若AB →􀅰AC → ＝－５,则△ABC 的 形状一定是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ５．已知|a|＝|b|＝２,a􀅰b＝２,则|a－b| (　　) A．１ B．３ C．２ D．３或２ ６．已知向量a,b满足|a|＝１,a􀅰b＝－１,则a􀅰 (２a－b)＝ (　　) A．４ B．３ C．２ D．０ ７．若向量a,b满足|a|＝１,|b|＝２,a⊥(a＋b), 则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 快乐假期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　高一数学 ８．已知向量a和b的夹角为３０°,|a|＝１,|b|＝ ３,则|a＋２b|＝ (　　) A．１＋２ ３ B．１９ C．１３＋４ ３ D．３ ２ ９．已知平面向量m,n,其中|n|＝５,若(２m＋３n)􀅰n ＝４９,则m􀅰n＝ (　　) A．２６ B．１３ C．－２６ D．－１３ １０．已知|a|＝３,|b|＝２,且a,b的夹角为６０°, 如果(３a＋５b)⊥(ma－b),那么m 的值为 (　　) A．３２２３　　　B． ２３ ４２　　　C． ２９ ４２　　　D． ４２ ２３ 二、填空题 １．已知单位向量e１,e２ 满足‹e１,e２›＝ π ３ ,若a＝ ２e１－e２,则|a|＝　　　　． ２．若两个单位向量a,b 满足|a－b|＝ ２,则 |a＋b|＝　　　　． ３．已知 G 为 △ABC 的重心,且AG → ＝λ(AB → ＋ AC →),则λ＝　　　　． ４．若等边三角形ABC 的边长为４,则AB →􀅰BC → ＝　　　　． ５．已知非零向量a,b,满足b２＝４a２ 且a⊥(２a＋ b),则向量a与b的夹角为　　　　． 三、解答题 １．已知|a|＝１,a􀅰b＝１４ ,(a＋b)􀅰(a－b)＝１２．