2023年中考数学二轮专题复习：比例式探源 教案

比例式探源教学设计 教学目标：1.探索等积式或比例式的源头找相似三角形（掌握证明线段等积式或比例式的一般思路与方法）； 2.会用证明线段等积式或比例式的一般思路与方法求两条线段的比值或乘积和一条线段长度。 教学重点：掌握证明线段等积式或比例式的一般思路与方法。 教学难点：例2直接解决不了，需添辅助线来证明。 教学设计： 引言：前面我们刚学习完相似三角形的有关内容，平时我们在做题目过程中经常会遇到有关等积式或比例式的问题，许多同学可能解起来不顺手或者有些同学还感觉无从下手，所以今天这节课我们就一起来对比例式或等积式进行追本溯源。 第一环节（知识储备）： 1.如图1，已知l1//l2//l3，你能完成以下填空吗？ ( （ 图 1 ） ) 设计意图：复习平行线分线段成比例定理，有利于学生在有平行线的图形中快速准确的得出相关的线段的比例式，从而能帮助学生准确分析问题。 2.相似三角形判定方法： （1）定义； （2）预备定理； （3）有两个角对应相等的两个三角形相似； （4）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （5）三边对应成比例的两个三角形相似； 设计意图：在解决问题过程中，要得到比例式常常要先证明相应的两个三角形相似，所以复习相似三角形的的判定方法，有利于学生能根据题中和图中的条件快速准确的找到需要证明的两个相似三角形，从而能帮助学生准确分析问题。 第二个环节 追本溯源 ( （ 图 2 ） ) 引导学生分析思考： （1）要证明这个等积式一般只要先证明什么？ （2）要证明这个比例式，一般考虑证明什么？ （3）证明哪两个三角形相似？你是怎么去找这两个三角形的？ 预设（如果学生一下回答不上）就先分析1 师分析1：我们一下找不到的话，不妨我们先把这比例式中的四条线段在图形上进行标注起来，现在我们知道要找哪两个相似三角形了吗？ 师分析2：如果我们不在图形上进行标注，直接从比例式中能找出这两个三角形吗？我们就可以从比例式的横向去找，先观察比例式横向上面的两条线段CD和BD有四个端点C、D、B、D,由于线段CD的端点D与线段BD的端点D是同一个点，即重合，所以实际上线段CD与BD只有三个不同的端点C,B,D，这三个不同的端点可能构成△BCD。我们接下来看比例式横向的下面两条线段AD，CD，这两条线段实际上也只有三个不同的端点A,C,D，一般来说可能构成△ACD.我们接下对照图形，看看这两个△BCD和△ACD在图形中存在不存在。发现存在，所以我们去考虑证明这两个三角形相似，这种从比例式的横向来确定三角形的方法，我们把它称为横定法。事实上，我们也可以从比例式的竖向来找两个三角形。我们先来看比例式左边的两条线段CD和AD,这两条线段实际上也只有3个不同的端点C,D,A.能构成△CDA.我们再来看比例式右边的两条线段CD和BD,这两条线段实际上有3个不同的端点C,D,B，能构成△CDB.接下来我们对照图形发现这两个三角形都存在，所以接下来我们去考虑证明这两个三角形是否相似，这种从比例式的竖向来确定三角形的方法，我们把它称为竖定法。再把解题的思路一起来梳理一下。 设计意图：利用引例引出用横定法和竖定法,从比例式中去找相似三角形的方法，帮助学生快速准确的找到需要证明的两个相似三角形，从而能帮助学生准确分析问题。 小结：要证明等积式的思路：一般先转化为比例式，再用横定法或竖定法找到两个三角形，再证明这两个三角形是否相似，如果这两个三角形相似，则问题得以解决（板书思路）。 小试牛刀：如图3，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F. ( （ 图 3 ） )设计意图：1.继续巩固利用横定法或竖定法来找相似三角形； 2.证明等积式或比例式用用横定法或竖定法时让学生 明白有时候用横定法和竖定法都能找到相似三角形，但 有时两种方法中只有一种方法能找到相似三角形，而另一 种方法找不到相似三角形。 ( （ 图 4 ） )引导分析学思考生： （1） 能用用横定法找到相似三角形吗？能用竖定法找到相似 三角形吗？如果都不能，那我们又该怎么办呢？ （2） 结合图形和已知我们可以考虑进行代换什么？代换的目的 是什么？（目的是为了满足横定法或竖定法的条件） 设计意图：让学生理解当我们所证的比例式都不满足用横定法或竖定法的条件时，我们就要考虑等量代换，代换之后使其比例式满足横定法或竖定法的条件，找到相似三角形，从而解决问题。其中等线段代换是一种重要方法，当然还有一些其他的代换，比如说等比代换，等积代换等等。 板书梳理： ( （ 图 5 ） ) 引导学生分析： （1） 这个比例式用横定法能得到哪两个三角形？△ACD与△CBD相似吗？（明显不相似） （2）