9.2.3 第3课时总体集中趋势的估计课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2 第3课时 总体集中趋势的估计 第九章 统计 问题引入 哪些量能刻画总体取值的特征? 平均数、中位数、众数等, 都是刻画“中心位置”的量, 它们从不同角度刻画了 一组数据的集中趋势. 新知探索 众数、中位数、平均数定义 (1)众数:一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列, 处在中间位置的数(或中间两个数的平均数). (3)平均数:如果n个数为x1,x2,…,xn,那么(x1+x2+…+xn). 新知探索 总体集中趋势的估计 (1)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关. (2)对一个单峰的频率分布直方图来说, 如果直方图的形状是对称的, 那么平均数和中位数应该大体上差不多; 如果直方图在右边“拖尾”, 那么平均数大于中位数; 如果直方图在左边“拖尾”, 那么平均数小于中位数. 也就是说,和中位数相比, 平均数总是在“长尾巴”那边. (3)对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均数、 中位数;对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以 用众数. (4)因为样本平均数与每一个样本数据有关, 样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变. 但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据, 所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.所以平均数比中位数更敏感. 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息, 只能传递数据中信息的很少一部分,对极端值不敏感. 新知探索 在频率分布直方图中估计平均数、中位数、众数 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与 小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)频数最大的组对应区间中点,作为众数的估计值. 典例精析 题型一:众数、平均数、中位数的计算 例1 (1)为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩, 平均身高1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m. 由此可推断我国13岁男孩的平均身高为 A.1.57 m B.1.56 m C.1.55 m D.1.54 m 解 因为从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60 m, 从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m, 所以这500个13岁男孩的平均身高是=1.56, 所以由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56 m. 故选B. (2)某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人, 85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数 分别是 A.85,85,85 B.87,85,86 C.87,85,85 D.87,85,90 解 从小到大列出所有数学成绩:75,80,85,85,85, 85,90,90,95,100, 观察知众数和中位数均为85,计算得平均数为87.故选C. 例2 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表: (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升 到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平? 结合此问题谈一谈你的看法. 解 (1)平均数是=×(5500×1+5000×1+3500×2+3000×1+ 2500×5+2000×3+1500×20)≈2091(元),中位数是1500元,众数是1500元. (2)新的平均数是′=×(30000×1+20000×1+3500×2+3000×1+ 2500×5+2000×3+1500×20)≈3288(元),新的中位数是1500元,新的众数是1500元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平, 因为公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大, 这样导致平均数与中位数偏差较大, 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. 典例精析 题型二:总体集中趋势的估计 例2 某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组 绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五 小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05. (1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)估计高一参赛学生的平均成绩. 解 (1)由图可知众数为65,因为第一个小矩形的面积为0.3, 所以设中位数为60+x,则0.3+x×0.04= 0.5,得x=5, 所以估计中位数为60+5=65. (2)由已知,平均成绩为 55×0.3+65×0.4+75×