第三章 微专题7 动力学中的临界与极值问题（Word教参）-【优化指导】2024高考物理一轮复习高中总复习·第1轮（人教版 浙江专用）

微专题7　动力学中的临界与极值问题 1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点． (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点． (4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．思维方法 物理法 根据题中给出临界或极值条件、或出现临界或极值的标志，应用临界条件的动力学特征，直接列方程求解 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，使临界现象(或状态)暴露出来，从而达到解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，再运用不等式、三角函数、二次方程的判别式、二次函数的极值等数学方法解出临界条件 微点一　利用“相互作用力为零”的临界条件进行分析 1．接触与分离的受力临界条件 两物体相接触或分离的临界条件是接触但接触面间弹力FN＝0. 2．绳子断裂与松弛的受力临界条件 (1)绳子断与不断的临界条件是绳子张力刚好等于它所能承受的最大张力． (2)绳子松弛的临界条件是FT＝0. (2021·辽宁沈阳模拟)倾角为θ＝45°、外表面光滑的楔形滑块M放在水平面AB上，在滑块M的顶端O处固定一细线，细线的另一端拴一小球，已知小球的质量为m＝ kg，当滑块M以a＝2g的加速度向右运动时，细线拉力的大小为(取g＝10 m/s2)(　　) A．10 N　　　　　 B．5 N C． N D． N A　解析：当滑块向右运动的加速度为某一临界值时，斜面对小球的支持力恰好为零，此时小球受到重力和线的拉力作用，如图甲所示． 根据牛顿第二定律，有FTcos θ＝ma0，FTsin θ－mg＝0，其中θ＝45°，解得a0＝g，则知当滑块向右运动的加速度a＝2g时，小球已“飘”起来了，此时小球受力如图乙所示，则有FT′cos α＝m·2g，FT′sin α－mg＝0，又恒等式cos2α＋sin2α＝1，联立解得FT′＝10N，故选项A正确． 微点二　利用“相对静止或相对滑动”的临界条件分析 1．相对滑动的运动学临界条件：两物体的速度相同或加速度相同； 2．相对滑动的力学临界条件：两物体间的静摩擦力达到最大值． 如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg、mB＝2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在F增大到45 N的过程中，有(　　) A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态 B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对滑动 C．两物体从受力开始就有相对运动 D．两物体始终没有相对运动 D　解析：解法一(临界法)：A、B间静摩擦力达到最大值，Ffmax＝μmAg＝12 N，是A、B发生相对运动的临界状态．此时，以A为研究对象，根据牛顿第二定律F－Ff＝mAa，再以B为研究对象，根据牛顿第二定律Ff＝mBa，当Ff为最大静摩擦力时，解得a＝6 m/s2，F＝48 N，由此可以看出当F<48 N时，A、B间的摩擦力达不到最大静摩擦力，即A、B间不会发生相对运动，D正确． 解法二(假设法)：假设F＝12 N，以A为研究对象，根据牛顿第二定律F－Ff＝mAa，再以B为研究对象，根据牛顿第二定律Ff＝mBa，解得Ff＝3 N<Ffmax＝12 N，所以此时物体没有发生相对运动．同理，可判断得到F＝10 N、F＝45 N时，两物体都没有发生相对运动，D正确． 微点三　利用“数学法”求极值 (2021·辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g，问： (1)求小木块与木板间的动摩擦因数； (2)当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值． [多维解题] 答案：(1) 　(2)60°， 解析：(1)当θ＝30°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析： mg sin θ＝μFN FN－mg cos θ＝0 解得μ＝tan θ＝tan 30°＝ . (2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则 －mg sin θ－μmg cos θ＝ma 由0－v＝2ax得 x＝＝ 其中tan α＝μ，则当α＋θ＝90°时x最小，