第六章 计数原理　大单元“四步复习法”讲义——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 ——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册 大单元“四步复习法” 第一步：单元学习目标整合 两个计数原理 （1）理解分类计数原理、分步计数原理及其意义. （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的实际应用问题. 排列与组合 （1）理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （2）能运用排列组合解决实际应用问题. 二项式定理 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （3）掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用. 第二步：单元思维导图回顾知识 第三步：单元重难知识易混易错 重难知识 1.排列与排列数 （1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作. 2.组合与组合数 （1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. （2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作. 3.二项式定理 公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项. 4.二项展开式形式上的特点 （1）项数为. （2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. （3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. （4）二项式系数为. 6.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. （2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和. （3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即. 典型例题 1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( ) A.8 B.9 C.12 D.24 2.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有( )个. A.60 B. C.20 D. 3.的展开式中的系数是( ) A. -35 B. 0 C. 35 D. 70 4.2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为( ) A.240 B.150 C.690 D.180 5.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________. 6.如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种. 答案以及解析 1.答案：B 解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d. 让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法， 不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法. 由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.故选B. 2.答案：C 解析：由题意得：十位数只能是3，4，5， 当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个； 当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个； 当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个； 所以“伞数”共有20个，故选C. 3.答案：C 解析：的展开式的通项为， 其中项的系数为，项的系数为， 则的展开式中的系数为.故选C. 4.答案：A 解析：第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有种；第