8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第八章 立体几何初步 问题引入 我们已经学习了棱柱、棱锥、 棱台的表面积和体积，回顾研究这几种多面体表面积的方法， 圆柱、圆锥、圆台这几种旋转体的表面积公式应该如何推导呢？ 圆柱、圆锥、圆台这几种旋转体的 侧面展开图是怎样的呢？ 新知探索 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开 新知探索 圆柱、圆锥、圆台的表面积   图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱   底面积：S底＝____ 侧面积：S侧＝_____ 表面积：S＝________ 圆锥   底面积：S底＝____ 侧面积：S侧＝____ 表面积：S＝________ 2πr2 2πrl 2πr(r＋l) πr2 πrl πr(r＋l) 旋 转 体 圆台   上底面面积：S上底＝______ 下底面面积：S下底＝____ 侧面积：S侧＝___________ 表面积：S＝___________________ πr′2 πr2 π(r′l＋rl) π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 上底缩小 思考: 圆柱、圆锥和圆台的表面积公式之间有什么关系？ r为底面半径， l为圆锥的母线长. 分别为上、下底面半径，l 为圆台的母线长. r为底面半径， l为圆柱的母线长. 上底扩大 =0 新知探索 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh S为圆柱的 ，h为圆柱的高 圆锥 S为圆锥的 ，h为圆锥的高 圆台 S′，S分别为圆台的 ，h为圆台的____ 底面积 底面积 上、下底面面积 高 上底缩小 思考: 圆柱、圆锥和圆台的体积公式之间有什么关系？ S为底面面积， h为圆锥的高. 分别为上、下底面 面积，h 为圆台的高. S为底面面积， h为圆柱的高. 上底扩大 =0 新知探索 球的表面积和体积 设球的半径为R，则球的表面积S球=4πR2， 球的体积V=πR3. 新知探索 球的体积公式的推导 圆的面积公式的推导 分割次数越多，每个扇形就越接近于 三角形，扇形的弧可以看作三角形的 底，半径可以看作是三角形的高， 所以每个三角形的面积为 Si=rli(li为扇形的弧长). 故圆的面积为 S=r(l1+l2+…+ln)=rl=r×2πr=πr2. O D C B A 将球的表面分成n个小网格，将整个球体分成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个小锥体的底面就越平，小锥体近似于棱锥，其高近似于球的半径R， 体积为SABCDR.球的体积为n个小锥体体积之和，而这n个小锥体的底面积之和为球的表面积S，故球的体积V=SR=×4πR2×R=πR3. 类比 典例精析 题型一：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A.12π B.12π C.8π D.10π 解 (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2， 底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为 2×π×()2+2π××2=12π. (2)过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm2，则球的表面积为____cm2.  解 易知截面为一圆面，如图所示， 圆O是球的过已知半径的大圆， AB是截面圆的直径， 作OC垂直AB于点C，连接OA. 由截面面积为48π cm2，可得AC=4cm. 设OA=R，则OC=，所以R2-()2=(4)2， 解得R=8. 故球的表面积S=4πR2=256π(cm2). (3)如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°， AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm. 求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体 是圆柱和圆锥的组合体，如图所示： 其中圆锥的高为16-4=12(cm)，圆柱的母线长为AD=4 cm， 故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2). 典例精析 题型二：圆柱、圆锥、圆台、球的体积 例2　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是 解　作圆锥的轴截面，如图所示： 由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 则h=r，PB=r，S侧=πr·PB=πr2=16π， 所以r=4，高h=4. 所以圆锥的体积V=π×42×4=π. (2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个