6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 第六章 平面向量及其应用 问题引入 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其 夹角的三角形是唯一确定的.也就是说， 三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，应该如何表示呢？ 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 怎样用a，b和C表示c？ A a c b B C 新知探索 余弦定理 A a c b B C 设=a，=b，则c=a-b. |c|2=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b =a2+b2-2|a||b|cosC ∴c2=a2+b2-2abcosC 同理： a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB 已知钝角△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义 用a，b，C表示边c. 新知探索 余弦定理 解　不妨设A为钝角. 如图，作BD⊥CA，交CA延长线于点D. ∴BD＝asin C，CD＝acos C. ∴AD＝CD－CA＝acos C－b. ∴c2＝BD2＋AD2 ＝a2sin2C＋(acos C－b)2 ＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－2abcos C. 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， ∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 新知探索 余弦定理 新知探索 余弦定理的推论 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝___________ 已知两边及其夹角求第三边 由三角形三边 求三角形的三个角 典例精析 题型一：用余弦定理解三角形 解　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C 例3 在△ABC中，a=，b=，A=30°，则c等于 (　　) A.2 B. C.2或 D.以上都不对 解 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A， 又因为a=，b=，A=30°， 所以()2=()2+c2-2××c×cos30° 整理得c2-3c+10=0，解得c=或2. 典例精析 题型三：判断三角形的形状 跟踪练习 1.在△ABC中，bcos C+ccos B=2b，则 = A. B. C. D.2 解 由已知， b×+c×=2b， 化为a=2b，即=. 跟踪练习 ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， 跟踪练习 3.在△ABC中，若b(a-ccos B)=a(b-ccos A)， 判断△ABC的形状. 解 由余弦定理， 得b(a-c×)=a(b-c×) 整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2， 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0， 所以a2+b2-c2=0或a2=b2. 所以a2+b2=c2或a=b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. 定理 形式 定理证明 定理应用 角为余弦、边为二次 向量法、转化为直角三角形、坐标法 边角互化 课堂小结 14 本节内容结束 由三角函数定义，sin C＝，cos C＝， 例1　在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ；sin A＝ . ＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. 由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝， 所以sin A＝＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解　根据余弦定理，得cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， 例4　在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 判断△ABC的形状. 解　在△ABC中，由cos2＝， 得＝，∴cos A＝. 根据余弦定理，得＝. ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝. 2.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝， AB＝3，AD＝3，则BD的长为________. 解　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝co