新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教B版）

　１．空间向量及其线性运算　　　　　　　 ★[学习目标]　１．经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念．２．经历由平面 向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．３．掌握空间向量的线性运算法则． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的有关概念 (１)定义:在空间中,把具有　　　　和　　　　 的量叫做空间向量． (２)长度:向量的　　　　　叫做向量的长度 或　　　　　． (３)表示法 ①字母表示法:空间向量用字 母a,b,c,􀆺表示 ②有向线段表示法:向量a的 起点是A,终点是B,则向量a 也可以记作　　　　,其模记 为　　　　或　　　　． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï (４)几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长 度 为 　 　 的 向量 ０ 单位向量 模为　　的向量 |a|＝１或 |AB → |＝１ 相反向量 与a长度　　　 而方向　　　的 向量,称为a 的 相反向量 －a 相等向量 方向　　　且模 　　　的向量 a＝b或 AB → ＝CD → 共线向 量或平 行向量 表示若干空间向 量的有向线段所 在的直线互相平 行或重合 a∥b或 AB → ∥CD → ２．空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 OB→＝ 　　　　 ＝a＋b 减法 CA→＝ 　　　　 ＝a－b 交换律:a＋b ＝b＋a; 结合律:a＋(b＋ c)＝(a＋b)＋c 数乘 当λ＞０时, λa＝λOA→ ＝PQ→; 当λ＜０时, λa＝λOA→ ＝MN→; 当λ＝０时, λa＝０ 结合律: λ(μa)＝(λμ)a; 分配律: (λ＋μ)a ＝λa＋μa, λ(a＋b) ＝λa＋λb ３．空间向量的共线与共面 (１)共线、共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 如果表示若干空间 向量的有向线段所 在的直线　　　　 　　,那么这些向 量叫做　　　　或 平行向量 平行于　　　　 　 　 的向 量,叫 做共面向量 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １７ 续表 充要 条件 对于空间任意两 个向量a,b(b≠ ０),a∥b的充要 条件是存在实数 λ,使　　　　 若两个向量a,b不共 线,则向量p 与向量 a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实 数对(x,y),使 　 　 　　 (２)直线l的方向向量 如图,O是直线l上一点,在直 线l上取非零向量a,则对于 直线l上任意一点P,由数乘向量的定义 及向量共线的充要条件可知,存在实数λ, 使得OP → ＝λa．我们把与向量a平行的非零 向量称为直线l的　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的概念 　(１)下列关于空间向量的说法中正确 的是 (　　) A．若向量a,b 平行,则a,b 所在的直线 平行 B．若|a|＝|b|,则a,b的长度相等而方向相 同或相反 C．若向量AB →,CD → 满足|AB → |＞|CD → |, 则AB → ＞CD → D．相等向量其方向必相同 (２)(多选)下列命题为真命题的是 (　　) A．若空间向量a,b满足|a|＝|b|,则a＝b B．在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,必有 AC → ＝A１C１ → C．若空间向量m,n,p满足m＝n,n＝p,则 m＝p D．空间中任意两个单位向量必相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量的概念与平面向量 的概念相类似,平面向量的其他相关概 念,如向量的模、相等向量、平行向量、相 反向量、单位向量等都可以拓展为空间向 量的相关概念． [变式训练] １．如图所示,以长方体 ABCD －A１B１C１D１ 的八个顶点的 两 点 为 起 点 和 终 点 的 向 量中, (１)试写出与AB → 相等的所有向量; (２)试写出AA１ → 的相反