假期作业21 余弦定理-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教B版）

２１．余弦定理　　　　　　　 １．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍,即a２＝b２＋c２－２bccosA,b２＝　　 　　,c２＝　　　　． ２．余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论 cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ,cosB＝ 　; cosC＝　　　　　　　　． ３．余弦定理与勾股定理 从余弦定理和余弦函数的性质可知,如果一 个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是　　　　 　;如果 小于第三边的平方,那么第三边所对的角是 　　　　 　;如果大于第三边的平方,那么 第三边所对的角是　　　　 　．从上可知, 余弦定理可以看作是勾股定理的推广． ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．一个三角形的两边长分别为５和３,它们夹 角的余弦值是－３５ ,则三角形的第三边长为 (　　) A．５２　　B．２ １３　　C．１６　　　D．４ ２．如果等腰三角形的周长是底边长的５倍,那 么它的顶角的余弦值为 (　　) A．５１８ B． ３ ４ C． ３ ２ D． ７ ８ ３．在△ABC中,cosC＝２３ ,AC＝４,BC＝３,则 cosB＝ (　　) A．１９ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ４．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a, b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且b＜c, 则b＝ (　　) A．３ B．２ C．２ ２ D．３ ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三角形 ５．若△ABC的三边长分别为AB＝７,BC＝５, CA＝６,则AB →􀅰BC → 的值为 (　　) A．１９ B．１４ C．－１８ D．－１９ ６．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,则A＝ (　　) A．１２０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．３０° ７．如图,在三棱锥P－ABC 的平 面展开图中,AC＝１,AB＝AD ＝ ３,AB ⊥AC,AB ⊥AD, ∠CAE＝３０°, 则cos∠FCB＝　　　　． ８．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知c＝２b．若sinC＝３４ ,则sinB＝ 　　　　　　;若b２＋bc＝２a２,则cosB＝ 　　　　　　． ◆[考点三]　余弦定理的综合应用 ９．在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c．若a＝６,c＝４,sinB２＝ ３ ３ ,则b＝ (　　) A．９ B．３６ C．６ ２ D．６ １０．在△ABC 中,已知BC＝７,AC＝８,AB＝ ９,则AC边上的中线长为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １５ １１．(２０２１􀅰天津卷,１６)在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sinA∶sinB∶ sinC＝２∶１∶ ２,b＝ ２． (１)求a的值; (２)求cosC的值; (３)求sin２C－π６ æ è ç ö ø ÷的值． １２．在①ac＝ ３,②csinA＝３,③c＝ ３b这三 个条件中任选一个,补充在下面问题中,若 问题中的三角形存在,求c的值;若问题中 的三角形不存在,说明理由． 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sinA＝ ３sinB, C＝π６ ,　　　　? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个 解答计分． １．顶角为３６°的等腰三角形称 为“黄金三角形”,黄金三角 形看起来标准又美观．如图 所 示,△ABC 是 黄 金 三 角 形,AB＝AC,作∠ABC 的平 分 线 交 AC 于 点 D,易 知 △BCD 也是黄金三角形．若BC＝１,则AB ＝　　　　　　;借助黄金三角形可计算 sin２３４°＝　　　　． ２．(２０２２􀅰全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A－B) ＝sinBsin(C－A)． (１)证明:２a２＝b２＋c２; (２)若a＝５,cosA＝２５３１ ,求△ABC的周长． 一哥们家里着火了 他报 警 说:１１９ 吗? 我 家 发生火灾了􀆺􀆺 １１