9.2.4总体离散程度的估计 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4 总体离散程度的估计 总体集中趋势的估计 众 数：最高矩形的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择? 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 思考：两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 从上图中看，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 那么，如何度量成绩的这种差异呢? 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 我们知道，如果射击的成绩很稳定,那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反,如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此,可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 作为xi到 的“距离”. 可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为 . 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 方差： 由于方差的单位是原始数据单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,对方差开平方,取它的算术平方根,即 标准差： 标准差的取值范围是什么? 标准差为0的一组数据有什么特点? [0,+∞) 所有数据都相等 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2,…,YN，总体平均数为 ，则 总体方差： 总体标准差： 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k ≤ N)个,不妨记为Y1，Y2,…,Yk, 其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则 总体方差： 如果样本中所有个体的变量值分别为y1，y2,…,yn，样本平均数为 ，则 样本方差： 样本标准差： 特征： 标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定． 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______. 离散 大 标准差 小 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛,要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲. 由s甲>s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定. s甲=2，s乙≈1.095 引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 练习1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(单位：cm)： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1) 分别计算两组数据的平均数及方差； (2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定． 练习3 已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为 ，方差为 ，则( ) B 解：因为这7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为 ，方差为 ，所以 例1 在对树