2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 第二章 直线和圆的方程 问题引入 点到直线的距离 问题1: 在铁路MN附近P地有一个仓库，要修建一条公路使之连接起来，问如何设计才能使公路最短？ 仓库 铁路 N M P 问题引入 点到直线的距离 问题2：已知点 和直线 怎样求点P 到直线l的距离呢? . 建模 Q 新知探索 点到直线的距离公式 如图，点P到直线l的距离，是指从点P 到直线 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. . Q 新知探索 点到直线的距离公式 设 因此l的斜率是 . Q PQ的斜率是 所以PQ的直线方程是 即 解方程组 解得 新知探索 点到直线的距离公式 . Q 因此， 新知探索 点到直线的距离公式 因此，点 到直线 的距离为： 新知探索 整体代换求点到直线的距离公式 点 到直线 的距离， 能否概述简化运算的过程? 设点 由两点间距离公式得， 解方程组 得 得两式求平方和： 新知探索 向量法求点到直线的距离公式 向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢? 在直线l上任取一点 M，设 是直线 PQ 的单位方向向量 由 新知探索 两种方法的对比 比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算. 典例精析 题型一：点到直线距离公式得应用 例1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积. 解：设AB边上的高为h， AB的方程为 化为一般式 x y O A B C h 11 规律方法 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 点到直线距离公式得应用 典例精析 例2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程. 解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1, 恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 题型二：点到直线距离与斜率存在性 故x=-1满足题意; 当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时, 设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0, 由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得 即x+3y-5=0. 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 解得 此时l的方程为 典例精析 例2. 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等, 求直线l的方程. 解:方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点. 当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB, 题型二：点到直线距离与斜率存在性 即x+3y-5=0. 综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 直线l的斜率为 方程为 14 规律方法 在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解. 题型二：点到直线距离与斜率存在性 典例精析 解析：由点到直线得距离公式可知， 题型三：点到直线距离求参数 例3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　) A. B. C. D. 化简得 解得 所以选C. 答案：C 规律方法 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 或 跟踪练习 1.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　.  解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线, 设垂足为M,则|MP|最小, 直线MP的方程为 解方程组 解