第8章 课时作业(51) 范围问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(五十一)　范围问题 [基础保分练] 1．(2022·浙江杭州高级中学模拟)如图，F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，直线l：y＝kx＋m(m＞0)与抛物线交于P、Q两点，PQ中点为R，当k＝－1，m＝2时，R到y轴的距离与到F点距离相等． (1)求p的值； (2)若存在正实数k，使得以PQ为直径的圆经过F点，求m的取值范围． 解：(1)由题意得F(，0).当k＝－1，m＝2时，直线l：y＝－x＋2. 设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 联立可得x2－(2p＋4)x＋4＝0， Δ＝(2p＋4)2－16＝4p2＋16p＞0， 由韦达定理可得x1＋x2＝2p＋4， 所以＝p＋2，＝－(p＋2)＋2＝－p， 即点R(p＋2，－p)， 由已知可得p＋2＝，解得p＝8. (2)由(1)知抛物线方程为y2＝16x. 因为存在正实数k，使得以PQ为直径的圆经过F点，所以FP⊥FQ，且m＞0， 联立可得k2x2＋2(km－8)x＋m2＝0， Δ＝4(km－8)2－4k2m2＞0，可得km＜4， 由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝， 易得F(4，0)，＝(x1－4，y1)＝(x1－4，kx1＋m)， 同理可得＝(x2－4，kx2＋m)， 因为·＝(x1－4)(x2－4)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 所以(1＋k2)x1x2－(4－km)(x1＋x2)＋16＋m2＝0， 所以(1＋k2)－(4－km)＋16＋m2＝0， 化简得16k2＋24km＋m2－64＝0， 令f(k)＝16k2＋24km＋m2－64， 则函数f(k)的对称轴为直线k＝－＜0， 若方程f(k)＝0有正根，则f(0)＝m2－64＜0，又因为m＞0，解得0＜m＜8. 故m的取值范围是(0，8). 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知△F1PF2为直角三角形，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，　① x2＋y2＝c2，　② ＋＝1．③ 由②③得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(a2－2b2)， 所以a2≥2b2＝32， 故a≥4. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，)． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2，0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈(，2)，求|AB|的取值范围． 解：(1)依题意得解得 ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线AB的斜率存在， 设其方程为y＝k(x－2)． 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， Δ＝8(1－2k2)>0，解得k2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得P(，)， 代入椭圆C的方程得t2＝. 由<t<2，得<k2<， |AB|＝· ＝2. 令u＝，则u∈(，)， ∴|AB|＝2∈(0，)， ∴|AB|的取值范围为(0，)． [技能提分练] 4.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． (1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)． 因为PA，PB的中点在抛物线上， 即，在y2＝4x上， 所以有()2＝4×， 同理()2＝4×. 所以y1，y2为方程()2＝4×， 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴． (2)解：由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积为 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0＜0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB面积的取值范围是. 5．已知两直线方程l1：y＝x与l2：y＝－x，点A在l1上运动，点B在l2上运动，且线段AB的长为定值2. (1)求线段AB的中