3.4 复数的三角表示（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版2019）

*3.4　复数的三角表示 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 1.了解复数旋转任意角的几何意义．(数学抽象) 2．了解复数的三角表示，以及复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、直观想象) 3．了解复数乘、除运算的三角表示，会利用复数的三角形式进行乘、除运算．(直观想象、数学运算) 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识导图 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 1．如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?　 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 3．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根据复数的乘法运算计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？ 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　i2＝－1的几何意义 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转___. 90° 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 1．将复平面上的点P(－1,2)表示的复数z绕原点旋转90°得到的点p′表示的复数为________． 解析：z＝－1＋2i，p′点表示的复数为iz＝i(－1＋2i)＝－2－i. －2－i 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　旋转任意角 用cos α＋isin α乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角__. α －1 微练习 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 3．1＋i的三角形式为__________________． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点五　复数三角形式的乘法、除法法则 设复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)， z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0. 乘法法则 除法法则 三 角 形 式 z1·z2＝____________________________ r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin (θ1＋ θ2)] 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 乘法法则 除法法则 文 字 语 言 两个复数乘积的模等于它们的模的_____，乘积的辐角等于它们的_________ 两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的____，商的辐角等于它们的_________ 乘积 辐角之和 商 辐角之差 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 乘法法则可以推广到n个复数相乘的情形，就是 z1·z2·…·zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]，其中n∈N＋. 如果r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，则有 [r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，其中n∈N＋. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 复数的代数形式化三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)写出复数的三角形式． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 解：(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos 0＋isin 0. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 1．类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． 2．由三角形式表示成代数形式，直接求出