5.1.2 导数的概念及其几何意义（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

5．1.2　导数的概念及其几何意义 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [学习目标]　1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．　2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 预习教材，思考问题 问题1　前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了什么样的思想方法？ 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [预习自测] 1．如果质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6　　　 B．18　　　　 C．54　　　 D．81 B 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．1 解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y′|x＝2，又切线与3x－y－2＝0平行，∴y′|x＝2＝3. C 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 0 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 导数的概念 平均变化率 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 可导 确定的值 瞬时变化率 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 导函数 导数 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第3 h与第7 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 分析：(2)首先需要明确导数是瞬时变化率的数学表达，从而将问题转化为求原油的温度函数在某些点处的导数；然后利用导数的定义求原油的温度函数在这些点处的导数，意在进一步强化用导数的概念求函数的导数的具体操作步骤，进一步体会导数概念中蕴含的极限思想；最后利用计算结果解释瞬时变化率的意义，进一步认识导数的内涵，即导数反映了函数在某一点附近的变化情况． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 同理可得，f′(7)＝7， 在第3 h与第7 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－1 ℃/h与7 ℃/h.说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第7 h附近，原油温度大约以每7 ℃/h的速率上升． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1.求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 导数的几何意义 切线P0T 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例2]　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 分析：(1)曲线f(x)在点P(x0，y0)处的切线：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即为曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率，所求曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为Q(x0，y0)；