专题11 概率-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题11 概率 知识点一 随机事件与概率 1．事件的相关概念 2. 事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 包含关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等 A＝B 并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 ▲ A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 ▲ A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝1 ▲对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． (3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件． 知识点二 古典概型 1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=. 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 概率公式：P(A)＝. 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：. (2)必然事件的概率：；不可能事件的概率：. (3) 互斥事件的概率加法公式： ①(互斥)，且有． ② (彼此互斥)． (4) 对立事件的概率：． (5) 如果，那么 （6）设是一个随机试验中的两个事件，我们有 知识点三 事件的相互独立性 (1)对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立. (2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立． 知识点四 频率与概率 1.频率的稳定性 在相同的条件下重复次试验，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．频率与概率 频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小． 考点01 随机事件间的关系 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【典例2】（2021秋·高一单元测试）袋内分别有红､白､黑球个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个 【典例3】（2021秋·高一课时练习）试验E:箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”. (1)写出试验E的样本空间Ω，并指出样本点的个数; (2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C，并指出每个随机事件的样本点的个数; (3)写出，，，. 【总结提升】 事件间的关系的判断方法 1.判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． 2.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不