第20讲 三角函数的概念、基本关系式与诱导公式（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第20讲 三角函数的概念、基本关系式与诱导公式 1.弧度制 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°=rad,②1rad=° 弧长公式 l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 2.任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数,记作tanα 定义域 R R 函数值 在各象 限的符 号 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - 3.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:= tan α . 4.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 4.常用结论 (1)特殊角 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角α的 弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 - - - -1 tan α 0 1 - -1 - 0 (1)三角形中的三角函数关系式： sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC； sin＝sin＝cos； cos＝cos＝sin. 考点一 定义法求三角函数值 考点二 利用三角函数符号判断角所在象限 考点三 商数关系和平方关系法求三角函数值 考点四 诱导公式化简求值 考点一：定义法求三角函数值 例1．若角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可求得结果. 【详解】终边过点，，. 故选：B. 2．（宁夏银川市2023届高三教学质量检测数学（理）试题）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，现将角的终边绕原点O逆时针方向旋转与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义得，然后利用诱导公式及余弦的二倍角公式即得． 【详解】由题意得， 所以， 则. 故选：A. 考点二：利用三角函数符号判断角所在象限 例3．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据诱导公式，判断点的横，纵坐标的正负，即可判断选项. 【详解】， ， ， 所以点位于第三象限. 故选：C 例4．已知是第二象限角，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】已知是第二象限角，求和终边所在位置，判断和的符号，确定点所在象限. 【详解】是第二象限角，则， ，的终边在一三象限，， ，的终边在三四象限和轴非负半轴，， 则点位于第四象限. 故选：D 考点三：商数关系和平方关系法求三角函数值 (1)齐次式法求值 例5．已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】变换，代入计算得到答案. 【详解】，. 故选：B (2)切弦互化法求值 例6．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先求出，根据所给角的范围求出，再根据余弦二倍角公式求得结果. 【详解】由得出， 又，则. 所以. 故选：A. 例7．已知是直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，为锐角,即可得，再结合，即可求得答案. 【详解】解：由题意可知，为锐角， 所以，即有， 又因为， 所以， 解得. 故选：B. 考点四：诱导公式化简求值 例8．已知，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用诱导公式结合条件即得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 例9．（2023·青海·校联考模拟预