6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理、正弦定理 应用举例 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案. 如何测量珠峰高度 三角高程测量示意图 距离问题 1 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 例1 距离问题 例1 两边及一边的对角余弦定理 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝30°， ∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 两角及一边正弦定理 例1 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA 两边及一边的对角余弦定理 反思感悟 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 求两个不可到达的点之间的距离问题，是把问题转化为求三角形的边长问题 跟踪训练1 位于灯塔A处正西方向相距15n mile的B处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔A处北偏东45°有一与灯塔A相距 n mile的乙船(在C处).求乙船前往支援B处的甲船航行的距离和方向(角度精确到1°). 解　根据题意，画出示意图如图，由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135° 因为0<∠C<90°，所以∠C≈31°. 高度问题 2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( ) 例2 把问题转化为求三角形的边长问题 √ 解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 直角三角形 非直角三角形 反思感悟 先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. “解直角三角形”与“解非直角三角形”结合： 测量高度问题的解题策略: 测量高度问题往往是空间中的问题 “空间”向“平面”的转化： 全面分析所有三角形，仔细规划解题思路 跟踪训练2 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？ 解　在△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°， 在Rt△ABC中， AB＝BCsin 60° 角度问题 3 已知：岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时，位于岛A南偏西38°方向与岛A相距3海里的B处有一艘缉私艇要去拦截，问缉私艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ 例3 测量角度的问题 解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点， 缉私艇的速度为每小时x海里， 则BC＝0.5x，AC＝5海里， 依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 反思感悟 测量角度问题的基本思路 1.画出表示实际问题的图形 2.标出有关的角和距离 3.用正弦定理或余弦定理解三角形 4.将解得的结果转化为实际问题的解 跟踪训练3 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为 m，之后该测绘人员沿正北方