6.4.3.1 余弦定理(二) 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理(二) 学习目标 1.能够利用余弦定理判断三角形的形状. 2.会运用余弦定理解决与三角形有关的最值或范围问题. 3.能用余弦定理解决三角形的综合问题. 因新冠疫情危害人间，佛协唐僧会长命八戒主任在白马寺建造三座佛塔，用以降妖镇魔。据《金刚经》记载两副塔距离为二倍根号三丈，与主塔所成角为六十度，且三塔之间的距离最长时降妖除魔效果最好，如果你是八戒主任，你会如果设计？ 如果把位移看成了向量，从向量的物理背景和数的运算中得到启发，我们就引入了向量的运算。 大师兄快来救我！ 利用余弦定理判断三角形的形状 1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示：A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2>a2； A为钝角⇔b2＋c2<a2. 三角形边和角的关系 问题 例1 解析 （1）在△ABC中，若 则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 借助向量的运算 例1 （1）在△ABC中，若 则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 综上所述，△ABC的形状为等边三角形.故选C. √ 利用余弦定理统一边 解析 例1 解 （2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2－b2－c2＝0，即a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 利用余弦定理， 统一成边 反思感悟 先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系 先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系 △ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2 △ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2 △ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，从“统一”入手 判断三角形的形状时，常用结论 ④ 若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ 跟踪训练1 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 所以accos(π－B)＋c2＝0，所以accos B＝c2， 所以b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形. 跟踪训练1 解析 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. √ 利用余弦定理解决最值或范围问题 2 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋bc，且A∈，则 的取值范围是__________. 例2 解析 ∵在△ABC中，a2＝b2＋bc， 又由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴b2＋bc＝b2＋c2－2bccos A，整理可得c＝b(1＋2cos A)， ∴a2＝b2＋b2(1＋2cos A)＝b2(2＋2cos A)， 可得2＋2cos A∈(2,3). 替换代入，转换到角 依据结构，选用余弦定理 函数思想，由角求值 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c). ①求角A的大小； 例2 解 因为b(b－c)＝(a－c)(a＋c)， 所以b2－bc＝a2－c2，即b2＋c2－a2＝bc， 因为A为三角形的内角，故A＝60°. 利用余弦定理，转换到角 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知b(b－c)＝(a－c)(a＋c). 例2 解 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 因为b>0，c>0， 根据结构凑配 利用基本不等式求范围 反思感悟 利用余弦定理解决最值或范围问题的常用方法 ① 转化为三角函数利用 三角函数的有界性求解 ② 利用基本不等式求解 ③ 利用二次函数的性质求解 跟踪训练2 (1)若2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边