5.2复数的四则运算（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

5.2 复数的四则运算 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：复数的加、减运算 必会题型二：复数的乘除法运算 必会题型三：复数的四则运算综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 复数的加法 1．复数的加法法则 设是任意两个复数，那么它们的和． 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．特别地，当都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和． 2．复数加法的运算律 复数的加法满足交换律和结合律． 对任意，有 (1)(交换律)， (2)(结合律)． 【名师点睛】(1)两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形． (2)复数的代数形式的加法运算是一种规定，它的合理性可以从下面两点理解： ①当时，，即当两个复数为实数时，复数的加法法则与实数的加法法则一致． ②可以验证实数加法的运算律，比如结合律、交换律在复数集中仍然成立． 必会知识二 复数加法的几何意义 设分别与复数对应，则．由平面向量的坐标运算法则，得． 这说明两个向量与的和就是复数对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义． 具体如下： (1)若在同一条直线上，如图 (1)，平移，使表示向量的有向线段的起点与点重合，终点到达点的位置，则对应的复数即为复数与的和． (2)若不在同一条直线上，如图 (2)，以表示这两个向量的有向线段为邻边作平行四边形，则这个平行四边形的对角线所表示的向量对应的复数即为复数与的和． 必会知识三 复数的减法 1．复数的减法法则 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫作复数减去复数的差，记作，即． 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数． 【名师点睛】(1)两个复数相减就是这两个复数的实部与实部相减，虚部与虚部相减． (2)当时，，即当两个复数为实数时，其减法法则与实数的减法法则一致． 2．复数减法的几何意义 设分别与复数对应，则．由平面向量的坐标运算法则，得． 这说明两个向量与的差就是复数对 应的向量．因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义． 具体如下： (1)若在同一条直线上，如图7-2-2(1)，则对应的复数即为复数与的差． (2)若不在同一条直线上，如图7-2-2(2)，连接，作，则对应的复数即为复数与的差． 必会知识四 复数的乘法 1．复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积． 很明显，两个复数的积是一个确定的复数．特别地，当都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积． 2．复数乘法的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对于任意，有 (1)交换律； (2)(结合律)； (3)(分配律． 3．复数的乘方 对于任意，有 (1)； (2)； (3)． 【名师点睛】(1)复数的乘法与多项式的乘法类似，但在所得结果中要把换成-1，并且把实部与虚部分别合并． (2)规定． (3)实数集内乘法、乘方的一些运算法则和某些重要结论在复数集内不一定成立．例如，(1)若，则．若，则不一定等于，如．(2)若，则．若不能推出，如，但能推出． 必会知识四 复数的除法 复数的除法法则是 ，且． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． 【名师点睛】(1)设复数，则称使得的复数叫作复数的倒数，记为．根据复数的除法法则，得 (2)在进行复数的除法运算时，先将两个复数的商写成“分式”形式，再将分子与分母同时乘分母的共轭复数，然后化简得到结果，这一过程叫作分母“实数化”(与根式除法中的分母“有理化”类似)． 必会知识四 复数运算的常用技巧 在复数的运算过程中，适当地运用运算技巧能使复杂问题简单化． (1)i的运算律：． (2)i． (3)． (4)设，则． (5)常用公式：． 必会知识五 与共轭复数有关的运算性质共轭复数的常见性质 (1)若，则． (2)． (3)若，则 (4)；复数是纯虚数． (5)． (6)，当时，要求． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：复数的加、减运算 1．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2022春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知复数，，，若是实数，则（    ） A．， B． C．，或 D．以上都不对 3．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足，且是纯虚数，则（    ） A． B．i C． D． 4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2023·全