3.2独立性检验 课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版选修2-3

§2 独立性检验 高中数学选修2-3 第三章 统计案例 问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量.一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g.于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足. 假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g ； “这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果. 问题引入 变量 定量变量 分类变量 （定性变量） 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等. 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人） 列联表 在不吸烟者中患肺癌的比重是________. 在吸烟者中患肺癌的比重是___________ 0.54% 2.28% 问题探究 直观结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大. 从直观上你能得出什么结论？ 问题探究一 不吸烟 吸烟 患肺癌 比例 不患肺癌 比例 等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例. 你有多大的把握认为它们有关系？ 我们先假设： H0：吸烟与患肺癌没有关系 看看能推出什么样的结论 问题探究二 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 把表1-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 若吸烟与患肺癌没有关系。则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即： 若H0成立，即“吸烟和患肺癌没有关系”K2 应该很小 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，统计学家构造一个随机变量 独立性检验 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 通过公式计算 H0成立的情况下 这是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”. 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”. 问题探究三 这个值到底能告诉我们什么呢？怎样判断K2的观测k值是大还是小呢？ 利用随机变量K2来判断“两个分类变量是否有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 独立性检验： 临界值 10.828 7.879 6.635 5.024 3.841 2.706 2.072 1.323 0.708 0.445 k 0.001 0.005 0.010 0.025 0.05 0.10 0.15 0.5 0.40 0.50 独立性检验的基本思想 对“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的判断： （1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立. （2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理. （3）根据随机变量K2的含义和临界值可以确定 “两个分类有关系”这一结论成立的可信程度. 1.如果k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系” 2.如果k>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系” 3.如果k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系” 4.如果k<=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系” 例1.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。问你有多大的把握认为秃顶与患心脏病有关系？ 例题解析 患心脏病 不患心脏病 总计 秃顶 214 175 389 不秃顶 451 597 1048 总计 665 772 1437 解：列联表为 根据联表1-13中的数据，得到 所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”. 例2.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示. 未感冒 感冒 合计 使用血清 252 248 500 未使用血清 224 276 500 合计 4