专题13 平面解析几何（解答题，面积问题、定值问题等4类题型）-学易金卷：2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）

专题13 平面解析几何（解答题） 目录 题型一：三角形（四边形）面积问题 1 题型二：圆锥曲线中的定值问题 16 题型三：圆锥曲线中的定点、定直线问题 22 题型四：圆锥曲线中的最值、范围问题 25 题型一：三角形（四边形）面积问题 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积． 2．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由. 3．（2023·湖北·校联考三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程； (2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值． 4．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点． (1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率； (2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 5．（2023·辽宁大连·统考三模）已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点. (1)求的轨迹的方程； (2)若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围. 6．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为 (1)求曲线方程； (2)求的取值范围. 7．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围. 8．（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M． (1)求椭圆的方程； (2)设的面积为，的面积为，求的值． 9．（2023·湖南永州·统考三模）已知椭圆：，其右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，，. (1)求证：为定值. (2)若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求面积的最小值. 10．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值． 题型二：圆锥曲线中的定值问题 1．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆. (1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切； (2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由. 3．（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且. (1)求的方程； (2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由. 4．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 题型三：圆锥曲线中的定点、定直线问题 1．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点. (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由. 2．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线的