专题16 计数原理，概率，随机变量及其分布列（解答题，4类题型）-学易金卷：2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）

专题16 计数原理，概率，随机变量及其分布列（解答题） 目录 题型一：二项分布及其应用 1 题型二：正态分布及其应用 8 题型三：随机变量及其分布 9 题型四：概率与其他知识综合 16 题型一：二项分布及其应用 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． (3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 2．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为. (1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即. (i)求的取值范围； (ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义. 3．（2023·浙江温州·统考三模）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章. (1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 4．（2023·湖北·校联考三模）某市对全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并且段内的人数恰成等差数列，如图所示是频率分布直方图的一部分． (1)请补全频率分布直方图（标上纵坐标的值），直接写出百分之八十五分位数：___________（精确到0.1）； (2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为X，成绩在区间内的人数为Y，记，比较与的大小关系． 5．（2023·黑龙江大庆·统考三模）天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长. (1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率； (2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？ 题型二：正态分布及其应用 1．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）App是英文Application的简称，现多指智能手机的第三方应用程序．随着智能手机的普及，人们在沟通、社交、娱乐等活动中越来越依赖于手机App软件．某公司为了了解其研发的App在某市的普及情况，进行了问卷调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）： 经常使用 偶尔或不用 总计 男性 70 100 女性 90 100 总计 (1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为该市市民经常使用该款App与性别有关； (2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用该款App的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比例为1：1）． 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (3)阅读下列材料，回答问题：以（2）中所求的概率为基准，如果从该市所有参与调查的市民中随机