专题11 立体几何与空间向量（解答题，求立体几何中的线面角、二面角等4类题型）-学易金卷：2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）

专题11 立体几何与空间向量（解答题） 目录 专题11 立体几何与空间向量（解答题） 1 题型一：立体几何中结构不良题 1 题型二：求立体几何中的线面角 2 题型三：求立体几何中的二面角 6 题型四：立体几何中的探索性问题 13 题型一：立体几何中结构不良题 1．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． (1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； (2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：； 条件②：∠PED＝60°； 条件③：PM＝3ME： 条件④：PE＝3ME． 题型二：求立体几何中的线面角 1．（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心． (1)求证：平面PCD； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值． 2．（2023·湖北·校联考三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点. (1)求证：； (2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值. 4．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 5．（2023·浙江温州·统考三模）如图，已知四棱台的体积为，且满足，为棱上的一点，且平面. (1)设该棱台的高为，求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2023·湖南永州·统考三模）已知底面为菱形的平行六面体中，，四边形为正方形，交于点M. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 7．（2023·吉林长春·统考三模）如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面BDE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABE的距离． 题型三：求立体几何中的二面角 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径. (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 2．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，在直角梯形中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点，平面平面，，，是线段上一动点（不含端点） (1)当点为线段的中点时，证明：//平面； (2)若，，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 3．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1． (1)求球O的表面积； (2)求二面角的余弦值． 4．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值. 5．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图所示，空间四边形中，，，且，，二面角的大小为45°. (1)求异面直线和的夹角； (2)求二面角的大小. 6．（2023·山西运城·统考三模）如图，在多面体中，平面，，为的中点.，. (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图，在圆台中，分别为上、下底面圆的直径，且，，为异于的一条母线，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 8．（2023·山西阳泉·统考三模）如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O． (1)求证：平面ABCD； (2)求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值． 9．（2023·安徽·校联考三模）如图，在三棱锥中，为直角三角形，，的边长为4的等边三角形，，． (1)求证：平面平面ABC； (2)求二面角的余弦值． 10．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，在三棱柱中，，D是中点，． (1)证明：； (2)若，，且三棱柱的体积为，求