第7章 核心专题突破（3） 空间向量的应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

核心专题突破（三） 空间向量的应用 破疑难1：向量法求空间角 以空间几何为载体考查空间角是高考命题的重点，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求二面角或线面角是高考的热点，主要在解答题中呈现，主要的题型与解决方法：（1）向量法求异面直线所成的角：若异面直线 , 的方向向量分别为 , ，异面直线所成的角为 ，则 .（2）向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 ，直线的方向向量 ，设线面所成的角为 ，则 .（3）向量法求二面角：求出二面角 的两个半平面 与 的法向量 , ,则平面 与平面 的夹角即为向量 和 的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为 ,则 . 考向一 异面直线所成的角 例1（1） 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则异面直线 与 所成的角为( B ) A. B. C. D. [解析]以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ，所以 .故选 ． （2） 如图所示，在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点， ，若异面直线 和 所成角的余弦值为 ，则 的值为 ． [解析]以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系（图略）． 因为正方体的棱长为2，则 ， ， ， ． 所以 ， ． 则 ， 所以 ，解得 （ 舍去）． 规律方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系. 2.用坐标表示两异面直线的方向向量. 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. 4.注意两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 针对练1 [2021·全国乙卷]在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为( D ) A. B. C. D. [解析]［以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系（图略），设正方体 的棱长为2，则 , , , , , .设直线 与 所成的角为 ,则 .因为 ,所以 ,故选 考向二 直线与平面所成的角 例2 [2022·全国甲卷]在四棱锥 中， 底面 , , , ， . （1） 证明： ； 证明：在四边形 中，过点 作 于 ， 过点 作 于 ， 因为 , , ， 所以四边形 为等腰梯形，所以 ， 故 , , 所以 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . 学生用书第176页 （2） 求 与平面 所成的角的正弦值． [解析]如图，以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系,因为 , 则 ， ， ， 则 ， , ， 设平面 的法向量 ， 则有 可取 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． 规律方法 利用向量求线面角的两种方法 1.分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）. 2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角. 针对练2 [2021·浙江卷]如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点， ， ． （1） 证明： ； 证明：因为底面 是平行四边形， ， ， ，且 为 的中点， 所以 ， ， ， 易得 ． 又 ，且 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 ， 所以 平面 ． 又 平面 ， 所以 ． （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值． [解析]因为 ， ，且 , 所以 平面 ． 连接 ，则 ． 因为 ， ， ， 所以 ， 又 ，所以 ． 由（1）知 ， 过点 作 交 于点 ，则 ． 故可以以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， 所以 ， 所以 ． 易知平面 的一个法向量为 ． 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ． 考向三 平面与平面的夹角 例3 [2021·新高考Ⅰ卷]（规范解答）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点． （1） 证明： ; ［切入点：线线垂直转化到线面垂直］ 学生用书第177页 规范解答:因为 ， 为 的中点，所以 ,①[1分]←-------①处确定线 线 又平面 平面 ,②←-------②处面面垂直 且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ,③[3分]←--------③处线面垂直 又 平面 ,所以 ④[4分]←-------④处线线垂直 （2） 若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积. ［关键点：建系写坐标］ ［审题指导］　（1）由 利用面