2023年中考数学专题突破3：一次函数与直角三角形（一次函数压轴题）

一次函数压轴题之直角三角形 1．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF． （1）求直线AB的函数表达式． （2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积． （3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知点A，B分别在x轴和y轴上，且，点C的坐标是，AB与OC相交于点G．点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C，过P作直线EF∥AB分别交线段OA，OB（或线段CA，CB）于E，F．解答下列问题： （1）直接写出点G的坐标和直线AB的解析式． （2）若点P运动的时间为t，直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s，请求出s与t的函数关系式；并求出当t为何值时，直线EF平分四边形OACB的面积． （3）设线段OC的中点为Q，P运动的时间为t，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（﹣6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A﹣B﹣C﹣F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒． （1）求直线EF的表达式及点G的坐标； （2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式； （3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．某一次函数的图象与x轴相交于点A（8，0），与y轴相交于点B（0，6），动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上点向B移动，速度是2单位/秒．点Q在线段BO上，以1个单位/秒的速度向点O移动，设移动的时间为t（秒） （1）求这个一次函数的解析式； （2）四边形OAPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？ （4）若△BPQ是直角三角形，请直接写出点P的坐标． 5．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足． （1）求B、C两点的坐标； （2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式； （3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系，直线y＝﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处． （1）求BD的长； （2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标； （3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由． 7．如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（﹣2，0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值． 8．如图所示平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，8），若一次函数y＝kx+2的图象平分矩形OABC的面积． （1）求一次函数的解析式． （2）求（1）中一次函数与矩形的交点坐标． （3）设点D（﹣1，0），在一次函数图象上求一点P，使△ADP为直角三角形，求点P坐标． 9．在平面直角坐标系中，Rt△ACB的BC边在x轴上，AC，BC的长是方程x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＞BC，AB＝BO，D在x轴上，∠ADC＝∠CAO． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）在AD上是否存在点M，使△ABM是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b并解得： k＝，b＝﹣4， 故直线的表达式为：； （2）当y＝8时， 解得x＝9， ∴点C的坐标为（9，8）， ∴CD＝