专题11 立体几何垂直归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）

专题11 立体几何垂直归类 目录 【题型一】 线线垂直 1 【题型二】线面垂直 2 【题型三】面面垂直 3 【题型四】翻折1：线线垂直 5 【题型五】 翻折2：线面垂直 5 【题型六】 翻折3： 6 【题型七】 垂直探索性型 7 【题型八】 垂直应用1：线面角 8 【题型九】垂直应用2：二面角 9 【题型十】 垂直应用3：点到面的距离 10 培优第一阶——基础过关练 11 培优第二阶——能力提升练 13 培优第三阶——培优拔尖练 14 【题型一】 线线垂直 【典例分析】 如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【提分秘籍】 基本规律 1. 线线垂直 （1） 方法1：利用平行关系，把两条要证的直线平移在一个平面内，计算勾股定理证明垂直 （2） 转化为证明线面垂直。证明一条线垂直于另外一条线所在的某个平面。 【变式训练】 1.如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面 (1)证明：； (2)若，求三棱柱的高. 2.如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【题型二】线面垂直 【典例分析】 如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【提分秘籍】 基本规律 2. 线面垂直 （1） 定义法：证明一条直线垂直于一个平面的两条相交直线。 （2） 面面垂直性质法：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【变式训练】 1.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求点D到平面ABE的距离． 2.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点． (1)求证：BE⊥平面； (2)求三棱锥B-DEF的体积． 【题型三】面面垂直 【典例分析】 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD． 【提分秘籍】 基本规律 面面垂直证明： 定义法：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 【变式训练】 1.如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，． (1)求证：平面平面PAD； (2)若，求几何体PABCEF的体积． 2.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证： (1)底面； (2)平面平面. 【题型四】翻折1：线线垂直 【典例分析】 在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积最大值. 【变式训练】 1.在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点． (1)求证：； (2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积． 2.如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【题型五】 翻折2：线面垂直 【典例分析】 在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面； 【变式训练】 1.如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2.如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC． (1)求四棱锥的体积； (2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC． 【题型六】 翻折3：面面垂直 【典例分析】 已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到. (1)证明：平面平面； (2)在棱上取一点P，使，求. 【变式训练】 1.如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2. (1)证明：平面平面； (2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积. 2.如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【题型七】 垂直探索性型 【典例分析】 如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由. 【变式训练】 如图，在四棱锥中，侧