第7章 核心专题突破（3） 空间向量的应用（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第七章 核心专题突破（三） 空间向量的应用 1 破疑难1：向量法求空间角 以空间几何为载体考查空间角是高考命题的重点，空间向量是将空 间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求二面角或线面角是高考的热 点，主要在解答题中呈现，主要的题型与解决方法：（1）向量法求异面 直线所成的角：若异面直线 <m></m> , <m></m> 的方向向量分别为 <m></m> , <m></m> ，异面直线所成 的角为 <m></m> ，则 <m></m> .（2）向量法求线面所成的角：求 出平面的法向量 <m></m> ，直线的方向向量 <m></m> ，设线面所成的角为 <m></m> ，则 <m></m> .（3）向量法求二面角：求出二面角 <m></m> 的两个半平面 <m></m> 与 <m></m> 的法向量 <m></m> , <m></m> ,则平面 <m></m> 与平面 <m></m> 的夹角即为向量 <m></m> 和 <m></m> 的夹角或其补角.设平面 <m></m> 与平面 <m></m> 的夹角为 <m></m> ,则 <m></m> . 返回 2 考向一 异面直线所成的角 例1（1） 如图，在直三棱柱 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， 则异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角为 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> √ 返回 3 解析：以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线 分别为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴、 <m></m> 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> .故选B． 返回 4 （2）如图所示，在棱长为2的正方体 <m></m> 中， <m></m> 是棱 <m></m> 的中点， <m></m> ，若异面直线 <m></m> 和 <m></m> 所成角的余弦值为 <m></m> ，则 <m></m> 的值为__． <m></m> 返回 5 解析：以 <m></m> 为坐标原点，以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 轴，建立空间直角坐标系（图略）． 因为正方体的棱长为2，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ． 所以 <m></m> ， <m></m> ． 则 <m></m> ， 所以 <m></m> ，解得 <m></m> （ <m></m> 舍去）． 返回 6 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系. 2.用坐标表示两异面直线的方向向量. 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. 4.注意两异面直线所成角的范围是 <m></m> ，即两异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 返回 7 针对练1. （2021·全国乙卷）在正方体 <m></m> 中， <m></m> 为 <m></m> 的中点，则直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角为 A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> 解析：［以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在的直线分别为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴、 <m></m> 轴建立空间直角坐标系（图略），设正方体 <m></m> 的棱长为2，则 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> .设直线 <m></m> 与 <m></m> 所成的角为 <m></m> ,则 <m></m> .因为 <m></m> ,所以 <m></m> ,故选 <m></m> √ 返回 8 考向二 直线与平面所成的角 例2 （2022·全国甲卷）在四棱锥 <m></m> 中， <m></m> 底面 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> . （1）证明： <m></m> ； 返回 9 证明：在四边形 <m></m> 中，过点 <m></m> 作 <m></m> 于 <m></m> ， 过点 <m></m> 作 <m></