第2章 第5节 对数运算与对数函数（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（九） 对数运算与对数函数 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知 , ,则 ( D ) A. 3 B. C. 9 D. [解析]［因为 ， ,所以 , .所以 .故选 .］ 2. 若函数 是函数 ，且 的反函数，且 ,则 等于( A ) A. B. C. D. [解析] 函数 ，且 的反函数是 ，又 ，即 ,所以 ，故 .故选 3. 函数 的图象大致为( A ) A. B. C. D. [解析] 由函数 的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 轴对称.设 ,先画出 时， 的图象，然后根据 的图象关于 轴对称画出 时 的图象，最后由函数 的图象向上整体平移一个单位长度即得 的图象，结合图象知选 4. [2022·河南三模]若 , , ,则( A ) A. B. C. D. [解析] , ,所以 .故选 5. [2022·山东淄博模拟]（多选）设 ，则( AB ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 , 所以在 中， ,故 正确; 在 中， ，故 正确； 在 中， ,故 错误； 在 中， ,故 错误.故选 .］ 6. [2022·山东聊城期末]（多选）设函数 ,下列四个命题中正确的是( ABD ) A. 函数 为偶函数 B. 若 ，其中 , , ,则 C. 函数 在 上为单调增函数 D. 若 ，则 [解析] , .函数 ,因为 ，所以 为偶函数， 正确；若 ,其中 , ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 .因此 正确；函数 ,由 ,解得 ,所以函数的定义域为 ，因此在 上不具有单调性，因此 不正确；若 ，所以 ,故 ,即 ，因此 正确.故选 7. 计算： . [解析]原式 . 8. 若函数 在区间 上的最大值为2，则实数 2. [解析]令 ,则 在 上的最大值 ,最小值 . 当 时， 是增函数， ，得 ; 当 时， 是减函数， ，得 （舍去）.故 . 9. 设 且 ，且 . （1） 求实数 的值及 的定义域； [解析]因为 ，所以 ，所以 . 由 得 . 所以函数 的定义域为 . （2） 求 在区间 上的最大值. [解析] , 所以当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数，故函数 在 上的最大值是 . 10. 已知函数 . （1） 若函数 是 上的奇函数，求 的值； [解析]因为函数 是 上的奇函数， 所以 ,求得 . 当 时， 是 上的奇函数， 所以 为所求. （2） 若函数 的定义域是一切实数，求 的取值范围； [解析]因为函数 的定义域是一切实数， 所以 恒成立，即 恒成立， 由于 ,故只要 即可. （3） 若函数 在区间 上的最大值与最小值的差不小于2，求实数 的取值范围. [解析]由已知得函数 是减函数，故 在区间 上的最大值是 ,最小值是 . 由题意得 故 . 所以实数 的取值范围为 . ［能力提升练］ 11. [2022·江西南昌三模]科学记数法是一种记数的方法.把一个数 表示成 与10的 次幂相乘的形式，其中 ， .当 时， .若一个正整数 的15次方是11位数，那么这个数是 参考数据： , ( B ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 [解析] 由题意可设 , 因为正整数 的15次方是11位数，所以 ，所以 , 因为 ,所以 ,所以 , 则 ,则 , 所以 ,所以正整数 为5.故选 12. [2022·陕西榆林三模]2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功.航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科夫斯基公式： ,其中 , 分别为在燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量， 是燃料喷出的速度， 是火箭的初速度， 是燃料完全燃尽时火箭的速度.现准备发射一个二级火箭 初速度 ,每级火箭的箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带燃料的质量均为250吨，燃料喷出的速度为 ，先点燃第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃料燃尽时，火箭的速度约为 参考数据： , ( B ) A. B. C. D. [解析] 第一级火箭燃料燃尽时，火箭的速度 ，第二级火箭燃料燃尽时，火箭的速度 .故选 ［创新拓展练］ 13. （衔接高等数学）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 上，其解析式为 若函数 是定义在实数集上的偶函数，且对任意 ，都有 ,当 时， ,则 ( D ) A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ,即函数 的周期为 .由题意知，当 时，