第2章 第4节 指数运算与指数函数（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（八） 指数运算与指数函数 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 若实数 ,则下列等式成立的是( B ) A. B. C. D. [解析] ，故 不正确；由 知 ， ，故 正确； ，故 不正确； ，故 不正确.故选 .］ 2. 已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图象是( C ) A. B. C. D. [解析]［由函数 的图象可知， , ，则 为增函数，当 时， .故选 3. 若函数 且 的值域为 ，则 与 的关系是( A ) A. B. C. D. 不能确定 [解析]［由题意知 ，函数 且 的值域为 ，所以 ，所以 ， ，由指数函数的单调性知 ，所以 .故选 .］ 4. [2022·重庆模拟]国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量 与时间 的关系为 （ 为最初污染物数量）.如果前4小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要的时间为( C ) A. 3.6小时 B. 3.8小时 C. 4小时 D. 4.2小时 [解析]［由题意可得 ,可得 ,设 ，可得 ,解得 .因此，污染物消除至最初的 还需要4小时.故选 5. [2022·潍坊模拟]（多选）已知函数 且 的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( ABD ) A. B. C. D. [解析]［由图可得 ,即 ， 单调递减，且过点 ，故 正确； 为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故 正确； 为偶函数，结合指数函数图象可知 错误； , 根据“上不动、下翻上”可知 正确.故选 6. （多选）对于函数 有下述四个结论，其中正确的结论是( ABD ) A. B. 是奇函数 C. 在 上单调递增 D. 对任意的实数 ,方程 都有解 [解析] ， , 正确； , 是奇函数， 正确； 在 上是减函数， 错误; 由于 趋向于 时， 趋向于 ， 趋向于 时， 趋向于 ，即 的值域是 ，又 在 上是减函数，因此对任意实数 , 有唯一解， 正确.故选 .］ 7. 若函数 且 的定义域和值域都是 ，则实数 的值为 . [解析]当 时， 在 上单调递增，所以 解得 . 当 时， 在 上单调递减，所以 无解. 8. [2022·河北唐山高三二模]不等式 的解集是 . [解析]在同一坐标系中作出函数 和 的图象，如图所示，当 时，解得 ,由图象知, 的解集是 . 9. 已知函数 . （1） 若 ，求 的单调区间； [解析]当 时， , 令 ，由于 在 上单调递增，在 上单调递减，而 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . （2） 若 有最大值3，求 的值； [解析]令 ，则 , 由于 有最大值3， 所以 应有最小值 , 因此必有 解得 ，即当 有最大值3时， 的值等于1. （3） 若 的值域是 ，求 的值. [解析]令 . 由指数函数的性质知， 要使 的值域为 ， 应使 的值域为 , 因此只能 （因为若 ，则 为二次函数，其值域不可能为 ）. 故 的值为0. 10. [2022·上海模拟]已知函数 为常数， . （1） 讨论函数 的奇偶性； [解析]因为函数 的定义域为 , 又因为 , 所以①当 , 即 时，可得 , 即当 时，函数 为偶函数； ②当 , 即 时，可得 ，即当 时，函数 为奇函数. 故当 时， 不具有奇偶性. （2） 当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围. [解析]由（1）可得，当函数 为偶函数时， ，即 , ,由题可得， ， 令 ,则有 ， 因为 ,所以 ， 根据对勾函数的性质可知， , 即 , 方程 在 上有实数根， 则 ,令 , 所以 在 上单调递增， 且 , ， 所以 , 所以实数 的取值范围是 . ［能力提升练］ 11. （开放型）已知函数 满足：（1）对于任意的 , ，有 ;（2）对任意 ， ，且 ，都有 ，请写出一个满足这些条件的函数 （答案不唯一）.（写出一个即可） [解析]根据指数的运算性质, ， 可得所有指数函数 满足 ，又因为满足“对任意 ， ，且 ，都有 ”， 即函数 是一个在 上的减函数， 综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为： . 12. [2022·辽宁六校联考]已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是( C ) A. B. C. D. [解析]［因为函数 ,所以 ,则 ,