第2章 第2节 函数的单调性和最值（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

课时精练（六） 函数的单调性和最值 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 函数 在( C ) A. 上是增函数 B. 上是减函数 C. 和 上是增函数 D. 和 上是减函数 [解析]［函数 的定义域为 ， ，根据函数 的单调性及有关性质，可知 在 和 上是增函数.故选 2. 函数 , 的最小值为0，则 的取值范围是( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 在 上单调递减，且 ，所以 ， .故选 3. 若 ,则( A ) A. B. C. D. [解析]［由 ，得 .令 ,则 .由于函数 是 上的增函数，故有 ,所以 一定成立.故选 4. [2022·辽宁锦州月考]若函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是( B ) A. B. C. D. [解析] 在 上为增函数，所以 解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选 5. （多选）下列函数 中，满足“ , 且 ， ”的是( AD ) A. B. C. D. [解析]［由 可知， 在 上是增函数， ， 选项中， 为增函数； 中， 在 上不单调; 中，对于 ,因为 与 在 上单调递减，因此 在 上是减函数.故选 .］ 6. （多选）已知 ，则下列函数中，最小值为4的是( AD ) A. B. C. D. [解析]［易知函数 在 上单调递增，所以 ， 符合题意； 因为 ,所以 （当且仅当 时取等号），故其最小值不为4， 不符合题意； ，其最大值为4（当 时取得），最小值是 , 不符合题意; 因为函数 在 上单调递增，所以在区间 上也是增函数，其最小值为 . 符合题意.故选 .］ 7. 若函数 在 , }上的最大值为 ，最小值为 ，则 . [解析]令 ,则 ， , 易知 在 上单调递增， 所以其最小值 ;最大值 ， 所以 . 8. [2022·沧州模拟]设函数 ,则满足 的 的取值范围是 . [解析] ， 所以 是奇函数.又 ,所以 为 上的增函数，所以 可化为 ，即 ,所以 ,即 .所以满足 的 的取值范围是 . 9. 已知函数 . （1） 写出函数 的定义域和值域； [解析]定义域为 .又 ，所以值域为 . （2） 证明：函数 在 上为单调递减函数，并求 在 上的最大值和最小值. 证明：设 ， 则 . 又 ，所以 , , 所以 ,即 ， 所以函数 在 上为单调递减函数，在 上， 的最大值为 ，最小值为 . 10. 已知定义在区间 上的函数 是增函数， ， . （1） 解不等式 ; [解析]由 解得 或 . 所以原不等式的解集为 或 . （2） 若 对所有 ， 恒成立，求实数 的取值范围. [解析]因为函数 在 上是增函数, 所以 在 上的最大值为 , 所以不等式 对所有 ， 恒成立转化为 对所有 恒成立，即 对所有 恒成立. 设 , ， 所以需满足 即 解该不等式组，得 或 或 , 即实数 的取值范围为 . ［能力提升练］ 11. 定义 , , 为 , , 中的最大值，设 , , ，则 的最小值是( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 [解析]［画出函数 , , 的图象（如图）， 由图可知，函数 在 处取得最小值 ，故 的最小值为4.故选 12. （易错题）函数 . （1） 若函数 的单调递减区间是 ，则实数 的值（或范围）是 . [解析]因为函数 的单调递减区间是 ，且函数 图象的对称轴为直线 ,所以有 ,即 . （2） 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的值（或范围）是 . [解析]因为函数 在区间 上单调递减，且函数 图象的对称轴为直线 ,所以 ，即 . ［创新拓展练］ 13. [2022·湖北九师联盟3月质检]设函数 ，则不等式 的解集是( A ) A. B. C. D. [解析]［由题意知 的定义域为 ，且 ,故 为奇函数，当 时，易证 单调递增，所以 在 上单调递增，令 ,则 则 ，且 在 上单调递增，又 ，所以 的解集为 .故选 14. （能力挑战题）设函数 的定义域为 ，若存在正实数 ，使得对于任意 ,有 ,且 ，则称 是 上的“ 距增函数”. （1） 判断函数 是否为 上的“1距增函数”，说明理由； [解析]函数 是 上的“1距增函数”，任意 ，有 ，且 ，所以 ，因此 是 上的“1距增函数”. （2） 写出一个 的值，使得 是区间 上的“ 距增函数”； [解析] （答案不唯一，不小于4即可）. （3） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .若 为 上的“ 距增函数”，求 的取值范围. [解析] , 因为 为 上的“ 距增函数”， ①当 时，由定义 恒成立，即 恒成