第6章 培优增分系列（9） 微点突破——数列中的构造问题（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（九） 微点突破——数列中的构造问题 许多数列问题，需要确定数列的通项公式.特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解，往往是解决数列难题的瓶颈.递推数列的通项问题是高考的热点问题，又是高中数学的难点.高考往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为所研究的等差或等比数列. 一 形如 型 角度1 （ ,1， ，其中 ） 典例1-1 [2022·九江模拟]在数列 中， ， ，求数列 的通项公式. [解析]由 ，可得 ，所以 . 又 ，所以 是以 为首项，3为公比的等比数列， 所以 ，所以 . 学生用书第148页 角度2 典例1-2 （多选）已知数列 满足 , ，则下列结论正确的是( ACD ) A. B. C. 是等比数列 D. 不可能是等比数列 [解析]［因为 , ，所以 ， ，故 正确， 错误； 因为 ，所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 正确； 因为 ， ， ，显然 ， 所以 不可能是等比数列，故 正确.故选 角度3 典例1-3 在数列 中， ， ，求数列 的通项公式. [解析]法一：原递推式可化为 .化简比较系数得 ，即 . 则数列 是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以 ， 即 . 法二：将 的两边同除以 ，得 ， 令 ，则 ，设 ，比较系数得 ， 则 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.所以 ， 则 ，所以 . 1.形如 的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列. 2.递推公式 的推广式 ，两边同时除以 后得到 ，转化为 的形式，通过构造公比是 的等比数列 求解. 针对练 [2022·武汉二中月考]已知正项数列 中， ， ，则数列 的通项公式为( D ) A. B. C. D. [解析]［法一：将递推公式 的两边同时除以 ，得 ，① 令 ，则①式变为 ，即 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ,即 , 故 .故选 . 法二:设 ， 则 ，与题中递推公式比较得 ，即 ， 所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，则 ，故 .故选 二 相邻项的差为特殊数列（形如 ，其中 ， 型） 典例2 已知在数列 中， ， ， ，求这个数列的通项公式. [解析]因为 ，所以 ， 又 ，所以 是首项为7，公比为3的等比数列， 则 ，① 又 ， ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ，② 得， ，所以 . 形如 ，可以化为 ，其中 ， 是方程 的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列 ，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列 . 针对练 在数列 中， ， ， ，则 . [解析]由题意知， ， 因为 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列， ， 当 时， .显然 满足上式，所以 . 三 倒数为特殊数列 典例3（1） （多选）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是( AD ) A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前 项和 [解析]因为 ，所以 ，所以 ，且 ， 所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，即 ， 所以 ，可得 ，故选项 正确，选项 不正确； 因为 单调递增，所以 单调递减，即 为递减数列，故选项 不正确； 的前 项和 .故选项 正确.故选 . （2） 已知数列 中， ， ，则 . [解析]因为 ， ，所以 ，所以 ，即 ，又 ，则 ，所以 是以1为首项， 为公差的等差数列. 所以 ，所以 学生用书第149页 两边同时取倒数转化为 的形式，化归为 型，求出 的表达式，再求 . 针对练1 已知函数 ，数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 . [解析]由已知得， ，所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公差为3的等差数列，所以 .故 . 针对练2 已知数列 满足 ， . （1） 证明 为等差数列，并求数列 的通项 ； 证明：由 ，得 ，故 是公差为2的等差数列， 故 ，由 ，得 ， 故 ，于是 . （2） 设 ，求数列 的前 项和 . [解析]依题意， ， 故 . 学科网（北京）股份有限公司 $