第2章 第8节 实际问题中的函数模型（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第八节 实际问题中的函数模型 ［课程标准］1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 知识分布 落实 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 , 为常数， 反比例函数模型 , 为常数且 二次函数模型 , , 为常数， 指数函数模型 , , 为常数， 且 , 对数函数模型 , , 为常数， 且 , 幂函数模型 , , 为常数， , 2.三种基本初等函数模型的性质 　　函数 性质 在 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 的增大逐渐表现为与 轴平行 随 的增大逐渐表现为与 轴平行 随 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 ,当 时，有 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 幂函数增长比一次函数增长更快.( × ) （2） 在 内，随着 的增大， 的增长速度会超过并远远大于 的增长速度.( √ ) （3） 指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.( √ ) （4） 在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( × ) 2. 在某个物理实验中，测得变量 和变量 的几组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 0.01 0.98 2.00 则对 , 最适合的拟合函数是( D ) A. B. C. D. [解析]［根据 , ，代入计算，可以排除 ；根据 ， ，代入计算，可以排除 ， ；将各数据代入函数 ，可知满足题意.故选 .］ 3. （必修第一册P124T12改编）某动物繁殖量 （只）与时间 （年）的关系为 ，设这种动物第2年有100只，则到第8年繁殖到200只. [解析]依题意知 , . 当 时， . 4. （必修第一册P139练习改编）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为 （万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件. [解析]利润 ,当 时， 有最大值. 巧记结论 1.三类增长函数模型的比较 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 学生用书第49页 2.“对勾”函数的性质 对于函数 , （1）该函数在 和 上单调递增；在 和 上单调递减. （2）当 时, 时取最小值 ； 当 时， 时取最大值 . 即时练1 已知 , , ,当 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( B ) A. B. C. D. [解析]［由 , , 的图象（图略）知，当 时， 增长最快， 次之， 增长最慢，即 .故选 .］ 即时练2 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为5米. [解析]设长方体蓄水池长为 ，宽为 ,高为 ,每平方米池侧壁造价为 ,蓄水池总造价为 ，则由题意可得 所以 ,所以 ，当且仅当 时， 取最小值. 考点分类 突破 考点一 利用函数的图象刻画实际问题 自练型 1. 有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间 与水面高度 之间的关系如图所示.若图中 为一线段，则与之对应的容器的形状是( B ) A. B. C. D. [由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细；再由 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故选 ] 2. [2022·北京卷]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是 ，下列结论中正确的是( D ) A. 当 ， 时，二氧化碳处于液态 B. 当 ， 时，二氧化碳处于气态 C. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 [A选项： ， ，由图易知处于固态； 选项： ， ，由图易知处于液态； 选项： ， ，由图易知处于固态； 选项： , ，由图易知处于超临界状态