第2章 第5节 对数运算与对数函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第五节 对数运算与对数函数 ［课程标准］1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数 ，且 与指数函数 ，且 互为反函数. 知识分布 落实 1.对数的概念 （1）对数的定义 一般地，如果 ,且 的 次幂等于 ，即 ,那么数 称为以 为底 的对数，记作 ，其中 叫作底数， 叫作真数. （2）几种常见的对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 ，且 常用对数 底数为10 自然对数 底数为 （3）对数的性质 ①0和负数无对数. ②1的对数等于0，即 ,且 . ③ ,且 . ④对数式与指数式的互化： ,且 . ⑤ , ,且 . 2.对数的运算 （1）对数的运算性质 若 ,且 ， , , ,则 ① . ② . ③ . （2）换底公式 , , ，且 , . 3.对数函数 （1）对数函数的概念 函数 ,且 叫作对数函数，其中 称为底数.由定义可知，对数函数具有以下基本性质： ①定义域是 ； ②图象过定点 . （2）对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点 ，即 时， 当 时， ;当 时， 当 时， ;当 时， 在定义域 上是增函数， 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当 值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域 上是减函数， 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当 值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 ［微提醒］ 且 的图象只在第一、四象限且在直线 的右侧. 学生用书第37页 4.反函数 指数函数 ,且 与对数函数 ,且 互为反函数，它们的图象关于直线 对称. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若 ,则 .( × ) （2） 对数函数 且 在 上是增函数.( × ) （3） 函数 与 的定义域相同.( √ ) （4） 对数函数 且 的图象过定点 且过点 , ,函数图象只在第一、四象限.( √ ) 2. （必修第一册P105习题 改编） ( D ) A. B. C. 2 D. 4 [解析]［原式 .故选 .］ 3. （必修第一册P123复习题 改编）函数 的定义域是 . [解析]由 ,得 ， 所以 .所以函数 的定义域是 . 4. （易错题）函数 ,且 在 上的最大值与最小值的差是1，则 2或 . [解析]分两种情况讨论：①当 时，有 ,解得 ;②当 时，有 ,解得 .所以 或 . 巧记结论 1.换底公式的变形与推广 （1） ,即 , 均大于0且不等于1 . （2） , 均大于0且不等于1， ， . （3） , , 均大于0且不等于1， . （4）换底公式的推广： , , 均大于0且不等于1， . 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 ,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故 .由此我们可得到以下规律：①在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ②在直线 的右侧，当 时，底数越大，图象越靠近 轴；当 时，底数越小，图象越靠近 轴，即“底大图低”. 即时练1 （多选）如图是三个对数函数的图象，则( ABC ) A. B. C. D. [解析] 由对数函数的图象得 , .故 正确.故选 即时练2 1. [解析]原式 . 考点分类 突破 考点一 对数运算 自练型 1. [2022·浙江卷]已知 , ,则 ( C ) A. 25 B. 5 C. D. [解析] 由题意知 ,又 ，所以 .故选 2. [2021·天津卷]若 ,则 ( C ) A. B. C. 1 D. [解析] 由 ,得 , .所以 .故选 3. [2022·江苏常州一模]（多选）已知正数 , , 满足 ,则( AC ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，可令 ,则 , , , 由换底公式得： , , ,则有 ,故选项 错误；对于选项 ，因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,故选项 正确；对于选项 、 ，因为 ,所以 , ,所以 ，所以 ,则 ,即 , 所以选项 正确，选项 错误.故选 4. 计算： 1. [解析]原式 . 5. 已知 ，若 , ,则 6. [解析]设 ,则 . 因为 ,所以 . 由 ,化简得 , 解得 舍去 ，故 , 由 两边取对数得 ,所以 ， 所以 ,即 ， 将 代入上式，得 , ， 所以 . 学生用书第38页 对数运算的一般思路 1.拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并.