第2章 第4节 指数运算与指数函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第四节 指数运算与指数函数 ［课程标准］1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识分布 落实 1.分数指数幂 （1）条件： , , ， , 互素，且 . （2）正分数指数幂的意义：若存在唯一的正数 ,使得 ,则称 为 的 次幂，记作 ,这就是正分数指数幂，定义 . 负分数指数幂的意义： . 2.指数幂的运算性质 对于任意正数 , 和实数 , 有 ; ; . 3.指数函数 （1）指数函数的概念 函数 且 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数.由定义可知，指数函数 具有以下基本性质： ①定义域是 ，函数值大于0； ②图象过定点 . （2）指数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点 ，即 时, 当 时， ; 当 时， 当 时， ； 当 时， 在 上是增函数 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在 上是减函数 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 ［微提醒］（1）形如 , 且 ， 且 的函数叫作指数型函数，不是指数函数. （2）指数函数 的图象与性质跟 的取值有关，要特别注意分 和 两种情况. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( × ) （2） 分数指数幂 可以理解为 个 相乘.( × ) （3） 函数 与 都不是指数函数.( √ ) （4） 若 ，且 ，则 .( × ) 2. （多选）（必修第一册P78例3改编）设 ，则下列运算中不正确的是( ABC ) A. B. C. D. [解析] , 不正确； , 不正确； , 不正确； , 正确.故选 学生用书第33页 3. （必修第一册P86例3改编）已知 , , ,则 , , 的大小关系是 . [解析] ,可知 在 上是减函数， ,所以 在 上是增函数， ，所以 ，所以 . 4. （易错题）若函数 是指数函数，则 2, 2. [解析]由指数函数的概念知， 解得 , . 巧记结论 1.图象问题 （1）画指数函数 ,且 的图象，应抓住三个关键点 ， ， . （2） 与 的图象关于 轴对称. （3）当 时，指数函数的图象呈上升趋势，当 时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1） ,（2） ,（3） ,（4） 的图象，底数 , , , 与1之间的大小关系为 . 规律：在 轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大. 即时练1 已知 , , , ,则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为( A ) A. B. C. D. [解析] , 在 上单调递增； , 在 上单调递减；由巧记结论2知，选项 正确.］ 即时练2 函数 的图象恒过定点 . [解析]令 得, ,此时 , 所以函数的图象恒过定点 . 即时练3 若函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是 . [解析]由题意知 ，即 ， 得 或 . 考点分类 突破 考点一 指数幂运算 自练型 1. 下列计算正确的是( B ) A. B. C. D. 已知 ,则 [解析]［对于 ， ,所以 错误; 对于 ， ， 所以 正确; 对于 ， ，所以 不正确; 对于 ，因为 , 所以 ， 错误，故选 2. 计算： . [解析]原式 . 3. 计算： . [解析]原式 . 4. 若 ，则 . [解析]因为 ,平方得 ,再平方得 . 而 ,因此 . 指数幂运算的一般原则 1.有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. 4.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. ［提醒］　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一. 学生用书第34页 考点二 指数函数的图象及应用 讲练型 例1（1） （多选）已知实数 , 满足等式 ,下列等式可以成立的是( ABD ) A. B. C. D. [解析]如图1，观察易知， 或 或 ,故选 . 图1 （2） 若曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围为 . [解析]函数 与 的图象如图2所示，由图象可得，如果曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是 . 图2 ［变式探究］ 1. （变条件，变设问）将本例（2）改为“若