第2章 第3节 函数的奇偶性与简单的幂函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三节 函数的奇偶性与简单的幂函数 ［课程标准］1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.4.通过具体实例，结合 , , , , 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 知识分布 落实 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 奇函数 一般地，设函数 的定义域是 ，如果对任意的 ,有 ,且 ,那么称函数 为奇函数 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数 的定义域是 ，如果对任意的 ,有 ,且 ，那么称函数 为偶函数 关于 轴对称 ［微提醒］（1）奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. （2）若 ，则奇（偶）函数定义的等价形式如下， 为偶函数； 为奇函数. 2.函数的周期性 （1）周期函数：一般地，对于函数 , ,如果存在一个非零常数 ，使得对任意的 ,都有 且满足 ，那么函数 称作周期函数，非零常数 称作这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称作 的最小正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）. ［微提醒］　理解周期函数定义的实质 存在一个非零常数 ，使 为恒等式，即自变量 每增加一个 后，函数值就会重复出现一次. 3.简单幂函数的图象和性质 （1）幂函数的定义：一般地，形如 （ 为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. （2）简单幂函数的图象和性质 幂函数 图象 定义域 学生用书第26页 值域 且 单调性 增 减， 减 增， 减 增 增 ［微提醒］　幂函数的特征：①自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数； 的系数为1；③解析式只有一项. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 函数 , 是偶函数.( × ) （2） 偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( × ) （3） 若 是函数的一个周期，则 也是函数的周期.( √ ) （4） 函数 是幂函数.( × ) 2. （必修第一册P65例2改编）下列函数中为偶函数的是( B ) A. B. C. D. [解析]［由函数的奇偶性的定义知 为偶函数.故选 ］ 3. （易错题）函数 是奇函数.（填“奇”“偶”“非奇非偶”） [解析]由 得 或 ，即 的定义域为 ，所以 ,所以 ,所以 是奇函数. 4. （易错题）已知幂函数 的图象过点 ，则此函数的解析式为 ；在区间 上单调递减. [解析]设 ,由题意知， ,解得 ， 所以 .由 的图象可知， 的减区间是 . 巧记结论 1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数 是奇函数且在 处有定义，那么一定有 ；如果函数 是偶函数，那么 . （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性的常用结论 对 定义域内任一自变量 ， （1）若 ,则 . （2）若 ,则 . （3）若 ，则 . 3.函数图象的对称性 （1）若函数 是偶函数，即 ，则函数 的图象关于直线 对称. （2）若对于 上的任意 都有 或 ,则 的图象关于直线 对称. （3）若函数 是奇函数，即 ,则函数 的图象关于点 中心对称. 4.巧识幂函数的图象和性质 即时练1 幂函数 及直线 , ， 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧（如图所示），那么幂函数 的图象经过的“卦限”是( B ) A. ①⑤ B. ②⑥ C. ③⑦ D. ④⑧ [解析]［对幂函数 ，当 时，其图象在 部分在直线 下方，且图象过点 ；当 时，其图象在直线 上方，故经过第②⑥两个卦限.故选 ］ 即时练2 [2022·湖南六校联考]已知定义在 上的函数 满足 ,当 时， ，则 ( D ) A. 5 B. C. 2 D. [解析]［因为 ,所以 ,即 .所以 ,又因为 , 所以 .故选 ］ 即时练3 （多选）若函数 为 上的偶函数，则下列各式成立的是( AC ) A. B. C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 函数 的图象关于直线 对称 [解析]［设 ,由题意可知 ，即 ,故 正确；由函数 为 上的偶函数可知， 的图象关于 对称，又知把 的图象向右平移3个单位长度得到 的图象，所以函数 的图象关于直线 对称.故选 ］ 学生用书第27页 考点分类 突破 考点一 简单幂函数的图象和性质 自练型 1. 若幂函数 ， 与 在第一象限内的图象如图所