第2章 第2节 函数的单调性和最值（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第二节 函数的单调性和最值 ［课程标准］1.借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 知识分布 落实 1.函数的单调性 （1）增函数和减函数 分类 增函数 减函数 定义 设函数 的定义域是 如果对于任意的 , 当 时，都有 ，那么就称函数 是增函数，特别地，当 时，也称函数 在区间 上单调递增 当 时，都有 ，那么就称函数 是减函数，特别地，当 时，也称函数 在区间 上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升 自左向右看图象是下降 （2）单调区间 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就称函数 在区间 上具有单调性，此时，区间 为函数 的单调区间. ［微提醒］（1）单调递增（减）函数定义中的 , 的三个特征： 一是任意性；二是有大小，即 ;三是同属于一个单调区间，三者缺一不可.（2）有多个单调区间应分开写，不能用符号“ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接. 2.函数的最值 前提 设函数 的定义域是 ，若存在实数 条件 ①所有的 ,都有 ; ②存在 ,使得 ①所有的 ,都有 ; ②存在 ,使得 结论 为函数 的最大值 为函数 的最小值 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若定义在 上的函数 ，有 ，则函数 在 上为增函数.( × ) （2） 函数 在 上是增函数，则函数 的递增区间是 .( × ) （3） 函数 的递减区间是 .( × ) （4） 所有的单调函数都有最值.( × ) 2. （必修第一册P63习题 改编）函数 在 上是减函数，则( B ) A. B. C. D. [解析]［要使 在 上是减函数，则 ，即 .故选 .］ 3. （必修第一册P61例5改编）函数 的单调递增区间是 （填 也对）. [解析]根据单调性的定义知， 函数 的单调递增区间是 或 . 4. 函数 在 上的最大值是2. [解析]该函数在 上单调递减，故当 时，函数取得最大值，最大值为2. 学生用书第23页 巧记结论 1.函数单调性的两个等价结论 设 , ，则 （1） （或 在 上单调递增. （2） （或 在 上单调递减. 2.若函数 , 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质 （1）当 , 都是增（减）函数时， 是增（减）函数； （2）若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反； （3）函数 在公共定义域内与 , 的单调性相反； （4）复合函数 的单调性与 和 的单调性有关.简记：“同增异减”. 3.函数最值存在的两条结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值. 即时练1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是( C ) A. 若 为增函数， 为增函数，则 为增函数 B. 若 为减函数， 为减函数，则 为减函数 C. 若 为增函数， 为减函数，则 为增函数 D. 若 为减函数， 为增函数，则 为减函数 [解析]［由结论2可知选项 的说法不正确.］ 即时练2 [2022·人大附中高三模拟]定义在 上的函数 对任意两个不等的实数 , ,总有 成立，则 必定是( C ) A. 先增后减的函数 B. 先减后增的函数 C. 在 上的增函数 D. 在 上的减函数 [解析]［由结论1可知正确的选项为 考点分类 突破 考点一 函数的最值 自练型 1. 函数 在 上的值域为 ，则 1, . [解析]因为 在 上是增函数，所以 , . 即 解得 , . 2. 已知 ， ，且 ,则 的最小值为8. [解析]因为 ， ,且 ，故 ，所以 ，当且仅当 时取等号，则 的最小值为8. 3. （1） 函数 的最大值为2. [解析]设 ，所以 . 所以 . 所以当 即 时， . （2） 函数 的最大值为2,最小值为 . [解析]由 ，得 ，所以设 ,则 , 因为 , 所以 ， 所以 . 4. 对 , ，记 , 函数 , 的最小值是 . [解析]由 , 得 ，所以 . 所以 其图象如图所示. 由图象易知，当 时，函数有最小值, 所以 . 求函数最值（值域）的五种常用方法 1.单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（值域）. 2.基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（值域）. 3.换元法：对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值域）. 4.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值（值域）. 5.导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最