第1章 培优增分系列（1）高数探源——柯西不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

培优增分系列（一） 高数探源——柯西不等式 柯西不等式 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西 发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果. 1.柯西不等式的代数形式 ,当且仅当 时等号成立. 变形形式： ； ,当且仅当 时等号成立； ,当且仅当 时等号成立. 2.柯西不等式的其他形式 （1）向量形式：设 , 为平面上的两个向量，则 ，当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立. （2）三角不等式形式：设 , , , , , 为任意实数，则： . 一、利用柯西不等式求最值（范围） 典例1 （熟题新法） （1） 已知 , ， ,则 的最小值为 . [解析]由 ，得 . 由柯西不等式 ，得 ,所以 .所以 的最小值为 （当且仅当 时取等号）. （2） 的最大值为5. [解析]由柯西不等式 ，得 ,所以 的最大值为 . 典例2（1） 已知 , 满足 ,则 的最小值为 . [解析]由柯西不等式得 ,所以 ,当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 . （2） 的最大值为 . [解析]由柯西不等式得 ,当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 . 针对练1 已知 ，则 的最小值为 . [解析]由柯西不等式得， ,所以 ,当且仅当 , , 时取等号，所以 的最小值为 . 针对练2 函数 的最大值为 . [解析]由柯西不等式得， ,当且仅当 时取等号，所以函数 的最大值为 . 二、利用柯西不等式证明不等式 典例3 （熟题新法）已知 , , , 求证： . 证明：由柯西不等式 ，得 ,当且仅当 时取等号. 典例4（1） [2022·全国甲卷节选]已知 , , 均为正数，且 ，证明： . 证明：由柯西不等式得 , 所以 ,又 , , 均为正数，所以 ，当且仅当 时取等号. （2） 已知 , , ,若 . 求证： . [答案]由柯西不等式得， ,当且仅当 , , 时取等号. 针对练1 已知 ,求证： . 证明：由柯西不等式得， ,所以 ， 所以 ,当且仅当 , , 时取等号. 针对练2 已知 , , , 都是实数，求证： . 证明： 根据柯西不等式，有 ，所以 ，当且仅当 时等号成立. 学生用书第13页 学科网（北京）股份有限公司 $