第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第四节 一元二次函数与一元二次不等式 ［课程标准］1.结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识分布 落实 1.一元二次函数 （1）一元二次函数解析式的三种形式 一般式： . 顶点式： ，顶点坐标为 . 零点式： ， , 为 的零点. （2）一元二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当 时是偶函数，当 时是非奇非偶函数 单调性 在 上单调递减； 在 上单调递增 在 上单调递增； 在 上单调递减 2.一元二次不等式及其解法 （1）一元二次不等式的概念 ①一般地，形如 ,或 ,或 ,或 （其中， 为未知数， , , 均为常数，且 ）的不等式叫作一元二次不等式. ②使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. （2）一元二次不等式的求解方法 判别式 一元二次方程 的实数根 有两相异实根 , 有两相等实根 没有实数根 一元二次函数 的图象 的解集 或 } 的解集 ［微提醒］　开口向上的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 学生用书第14页 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若一元二次函数 的两个零点确定，则一元二次函数的解析式确定.( × ) （2） 一元二次函数 的图象恒在 轴下方，则 且 .( √ ) （3） 若不等式 的解集为 ,则必有 .( √ ) （4） 不等式 在 上恒成立的条件是 且 .( × ) 2. （必修第一册P36例3改编）不等式 的解集为( C ) A. B. C. 或 D. 或 [解析]［根据题意，方程 有两个根，即 和1，则 的解集为 或 .故选 .］ 3. （必修第一册P33T2改编）已知一元二次函数 在区间 上的最大值为10，则 的取值范围是 . [解析]由 整理得 . 由一元二次函数的图象知，当 时, 有最大值10，所以 ，即 的取值范围为 . 4. （易错题）不等式 的解集为 . [解析]原不等式可化为 ， 因为方程 有两个不相等的实数根 , .结合一元二次函数的图象可得原不等式的解集为 . 巧记结论 1.分式不等式的解法 （1） . （2） 2.两个恒成立的充要条件 （1）一元二次不等式 对任意实数 恒成立 （2）一元二次不等式 对任意实数 恒成立 即时练1 “ ”是“ ”的( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［因为“ ” “ ”, 所以“ ”是“ ”的充要条件.故选 .］ 即时练2 不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 . [解析]当 时, ，不等式恒成立； 当 时， 解得 .综上， . 考点分类 突破 考点一 一元二次函数 自练型 1. 若 ,则二次函数 的图象可能是( D ) A. B. C. D. [解析]［对于选项 ， ， ， .因为 ，所以 ，所以 图象的对称轴方程 ,则 ， 错误， 符合要求.对于选项 ， ，所以 ，所以 图象的对称轴方程 ,故 错误.故选 ］ 2. 已知函数 在区间 上有最小值 ，那么实数 . [解析]当 ，即 时，函数在区间 上为增函数，故 ,不符合题意，舍去；当 ,即 时，函数在区间 上为减函数，故 ,解得 ，与 矛盾，舍去；当 ,即 时， ,解得 ，经检验符合题意.故 . 3. 已知一元二次函数 的最小值为3，且 . （1） 则 的解析式为 ； [解析]因为在一元二次函数 中， ，所以对称轴为 ,又一元二次函数 的最小值为3，故可设 ,所以 ,所以 . （2） 若 的图象恒在直线 的上方，则实数 的取值范围为 . [解析] 的图象恒在直线 的上方，等价于 ,即 恒成立，因为 ,所以 ,即实数 的取值范围为 . 4. [2022·长沙新高考1月适应性考试]已知函数 , , 为常数.若对于任意的 , ,且 ，都有 ，则实数 的取值范围是 . [解析]对于任意的 , ,且 ,都有 ,则 ,令 ,则 ,即 在 上单调递增，当 时， ,函数图象恒过点 ；当 时， ;当 时， .要使 在区间 上单调递增，则当 时， 图象的对称轴 ，即 ；当 时， 图象的对称轴 ，即 ，且 .综上， . 学生用书第15页 1.研究一元二次函数图象应从“三点一线一开