第1章 第3节 不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第三节 不等式 ［课程标准］1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2.掌握基本不等式 ，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 知识分布 落实 1.比较实数大小的基本事实 （1）文字叙述 如果 是正数，那么 ;如果 等于0，那么 ;如果 是负数，那么 .反过来也成立. （2）符号表示 ; ; . 2.不等式的性质 性质1　传递性： , ; 性质2　可加性： ; 性质3　可乘性： , ; , ； 性质4　同向可加性： , ; 性质5　同向同正可乘性：（1） , ; （2） , ; （3）同正可乘方性： ； 性质6　同正可开方性： . ［微提醒］　（1）同向不等式可以相加，不能相减； （2）一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变. 3.基本不等式 如果 , ,则 ，当且仅当 时，等号成立. 文字叙述：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 4.利用基本不等式求最值 当 , 均为正数时，下面的命题均成立： （1）若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最大值 ； （2）若 （ 为定值），则当且仅当 时， 取得最小值 . ［微提醒］　（1）应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，不能忽视任何一个条件. （2）连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两个实数 , 之间，有且只有 , , 三种关系中的一种.( √ ) （2） 若 ,则 .( × ) 学生用书第9页 （3） 函数 的最小值是2.( × ) （4） 两个不等式 与 成立的条件是相同的.( × ) 2. （必修第一册P25例1改编）若 , ，则有( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 .故选 .］ 3. （多选）（易错题）下列说法错误的是( ABD ) A. 若 , ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 , ,则 [A项： , , , 的符号不确定，故无法判断； 项： , 的符号不确定，无法判断 , 的大小； 项： ，所以 成立； 项：若 , , , ，则 ，故 项错误.故选 .] 4. （必修第一册P28T4改编）当 时， 的最小值为3. [解析]当 时， ,当且仅当 ,即 时等号成立. 巧记结论 1.不等式的两类常用性质 （1）倒数性质 ① , ; ② ， ; ③ , ; ④ 或 . （2）有关分数的性质 若 , ，则 ①真分数的性质 ， ; ②假分数的性质 ， . 2.几个重要的不等式 （1） ; （2） （ , 同号）； （3） ; （4） . 即时练1 若 , ,且 ,则下列不等式中，恒成立的是( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以选项 错误；对于选项 ， ，当 , 时，明显错误；对于选项 ，因为 ,所以 .故选 .］ 即时练2 [2022·漳州质检]已知 , 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( B ) A. B. C. D. [解析]［通解：因为 , 为互不相等的正实数，所以 ， , ,所以最大的是 .故选 . 优解：由 ,知本题答案是倒数关系，故选 . 秒杀解：令 , ,得 , , , .故选 ］ 即时练3 下列命题中，正确的序号是 . （1）若 ，则 ； （2）若 ,则 ； （3）若 , ，则 . [解析]（1）中，由分数性质知（1）正确; （2）中，因为 ,所以 ,所以 ,故（2）不正确； （3）中，因为 ,所以 , 同号，所以当 时， ，故（3）正确，故 正确. 考点分类 突破 考点一 不等式的性质 自练型 1. （多选）对于任意实数 , , , ,下列命题中的真命题是( ABD ) A. 若 ,则 B. 若 ， ，则 C. 若 ,则 D. 若 , ，则 , [解析]［对于 ：若 ,因为 ,所以 ,故 正确； 对于 ：若 ， ，则 ,化为 ,可得 ，故 正确； 对于 ：若 ,所以 , ，则 ,故 ，故 错误； 对于 ：若 , ,则 ,所以 ，所以 , ，故 正确.故选 .] 2. 已知实数 , , 满足 , ，则 , , 的大小关系是( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 ,所以 .又 ，所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 .故选 .] 3. 若 , ，则 , 的大小关系是( A ) A. B. C. D. [解析]［因为 , ，所以 ， 若 ，则 , ，所以 ； 若 ,则 , ，所以 ； 若 ，则 .所以 .故选 .] 学生用书第10页 4. 若 ,