第1章 第2节 常用逻辑用语（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第二节 常用逻辑用语 ［课程标准］1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4理解全称（存在）量词的意义，并能对全称（存在）量词命题进行否定. 知识分布 落实 1.必要条件与充分条件 一般地，当命题“若 ,则 ”是真命题时，称 是 的必要条件， 是 的充分条件；如果 ,且 ，那么称 是 的充分且必要条件，简称 是 的充要条件 是 的必要不充分条件 且 是 的充分不必要条件 且 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件 且 ［微提醒］（1）不能将“若 ，则 ”与“ ”混为一谈，只有“若 ，则 ”为真命题时，才有“ ”，即“ ” “若 ，则 ”为真命题. （2） 是 的充分不必要条件是指： 且 ； 的充分不必要条件是 是指： 且 ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误. 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”. 存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“ ”表示，读作“存在”. （2）全称量词命题与存在量词命题的否定 命称名称 符号表示 命题的否定 全称量词命题 , 具有性质 , 不具有性质 存在量词命题 , 具有性质 , 不具有性质 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若已知 和 ，则 是 的充分不必要条件.( √ ) （2） 当 是 的必要条件时， 是 的充分条件.( √ ) （3） “全等三角形的面积相等”是存在量词命题.( × ) （4） , 与 ， 的真假性相反.( √ ) 2. （必修第一册P22T1改编）“ ”是“ ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［若 ，则 显然成立，但反之不成立，即若 ,则 的值也可能为 .故选 .］ 3. （必修第一册P23T3改编）已知命题 , ,则 为( C ) A. , B. , C. , D. , [解析]［由存在量词命题的否定可知， , ，所以 正确， 、 、 错误.故选 4. （多选）（易错题）下列命题是全称量词命题且为真命题的是( AC ) A. , B. , C. 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D. 存在实数 ,使得 [解析]［对于 ， , ,所以 ，故 选项是全称量词命题且为真命题； 对于 ，当 时， 恒成立，故 选项是存在量词命题且为真命题； 对于 ，任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径，故 选项是全称量词命题且为真命题； 对于 ，因为 ,所以 ，故 选项是存在量词命题且为假命题.故选 学生用书第6页 巧记结论 1.充分条件与必要条件的两个特征 （1）对称性：若 是 的充分条件，则 是 的必要条件. （2）传递性：若 是 的充分（必要）条件， 是 的充分（必要）条件，则 是 的充分（必要）条件，即“ ,且 ” “ ”或“ ，且 ” “ ”. 2.等价转化法判断充分条件、必要条件 是 的充分不必要条件，等价于 是 的充分不必要条件. 即时练1 已知 是 的充分不必要条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件，那么 是 的充分不必要条件. [解析]因为 是 的充分不必要条件，所以有 , ; 因为 是 的必要条件，所以有 ; 因为 是 的必要条件，所以有 ,因此有 ,但 .所以 是 的充分不必要条件. 即时练2 已知 , ,且 是 的必要不充分条件，则 的取值范围为 . [解析]命题 ,解得 ,命题 ,解得 ,因为 是 的必要不充分条件等价于 是 的充分不必要条件，所以 解得 . 考点分类 突破 考点一 全称量词命题与存在量词命题 自练型 1. [2022·阜阳模拟]命题“ , ”的否定是( D ) A. “ , ” B. “ , ” C. “ , ” D. “ , ” [解析]［命题“ , ”的否定是“ , .”故选 2. （多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是( AC ) A. 至少有一个实数 ,使得 B. 菱形的对角线互相垂直 C. , 的否定 D. , 的否定 [解析]［对于选项 ，命题是存在量词命题，当 时， ,所以 中命题是真命题； 对于选项 ，命题是全称量词命题，不满足题意； 对于