第1章 第1节 集合（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，北师大版）

第一章 预备知识 第一节 集合 ［课程标准］1.了解集合的含义.理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合.2.理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用 图表达集合间的基本关系及基本运算.体会图形对理解抽象概念的作用. 知识分布 落实 1.集合的概念与表示 （1）集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示. （3）常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 （或 ［微提醒］　 为自然数集（即非负整数集），包含0，而 和 的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. （4）集合的表示方法常用的有列举法、描述法. （5）根据集合元素的多少把集合分为：有限集、无限集. 2.集合的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合 与 ，如果集合 中的任何一个元素都属于集合 ，即若 ,则 ,那么称集合 是集合 的子集，记作 （或 ）. （2）相等：对于两个集合 与 ，若 ，且 ，则 . （3）真子集：对于两个集合 与 ，如果 ，且 ，那么称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ）. （4）空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ［微提醒］　 是集合，不含任何元素； 含有一个元素0； 含有一个元素 ，且 和 都正确. 3.集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 自然语言 一般地，由既属于集合 又属于集合 的所有元素组成的集合 一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合 由 中所有不属于 的元素组成的集合 符号语言 ，且 ,或 ,且 图 运算性质 ［对点自测］ 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 若 , ,则 或 .( × ) （2） .( × ) （3） 任何一个集合都至少有两个子集.( × ) （4） 对任意集合 ， ，都有 .( √ ) 学生用书第2页 2. （必修第一册P7T1改编）若集合 , ,则下列选项正确的是( D ) A. B. C. D. [解析]［因为 不是自然数，而集合 是不大于 的自然数构成的集合，所以 ， .故选 .］ 3. （必修第一册P12T8改编）已知全集 ，集合 ， ，则 ， . [解析]因为全集 ， ,或 ，所以 ,所以 ， . 4. （易错题）已知集合 ， ， ，若 ，则实数 0或2或3. [解析]当 时，可得集合 ，此时满足 ; 当 时，可得集合 ， 所以 或 ，解得 或 ， 综上，实数 等于0或2或3. 巧记结论 1.子集个数 若集合 中含有 个元素，则它的子集个数为 ，真子集个数为 ,非空真子集个数为 . 2.两个常用等价关系 , . 3.集合的运算性质深化 （1） , , , . （2） , . 即时练1 [2022·重庆月考]已知集合 , ，则 的真子集的个数有( D ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 [解析]［因为 , ,0, ,所以其真子集个数为 .故选 即时练2 已知集合 , ，则 ( A ) A. B. 或 C. D. [解析]［因为 ，所以 .故选 考点分类 突破 考点一 集合的概念与表示 自练型 1. 已知集合 , ， },则集合 中的元素的个数为( C ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [解析]［当 时， ;当 时， ，0，1；当 时， . 所以 , , , , ，共有5个元素.故选 2. 设 , ,集合 ， , ,则 ( D ) A. 1 B. C. 2 D. [解析]［由题易得 ,所以 ,则 ,所以 , .所以 .故选 3. （多选）若集合 中只有一个元素，则 ( BC ) A. B. C. 0 D. [解析]［集合 中只有一个元素，则方程 只有一个实数根或有两个相等的实数根.若方程只有一个实数根，则 ，得 ，符合题意； 若方程有两个相等的实数根，则 ，由 ，得 ，所以 的值为0或 .故选 4. 若集合 , ， ，且 ，则实数 0或1. [解析]①当 时，即 ，此时 ， ， ，符合题意； ②当 时，即 ，此时 ， ， 不符合集合中元素的互异性； ③当 时，即 ，由②可知 不符合题意，所以当 时， ,1, ,符合题意.综上， 或1. 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关