第8章 排列组合（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（高教版2021·拓展模块一下册）

第8章 排列组合 知识点一：计数原理 1． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基本形式 一般形式 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数． 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 2． 应用两个原理解题的一般思路 注意：(1)明白要完成的事情是什么； (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3) 有无特殊条件的限制； (4) 检验是否有重复或遗漏． 知识点二：排列与组合 1．排列与排列数 (1) 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示． (3) 排列数公式的两种形式 ① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. ②P＝. (4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 2．组合及组合数的定义 (1)组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2) 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3) 排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP (4) 组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. (5) 组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 知识点三：二项式定理 1．二项式定理 (1)定义 一般地，对于任意正整数，都有：. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 (2) 二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ② 二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； (3)二项展开式的通顶公式 公式特点：① 它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； 2．二顶式系数及其性质 (1) 的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． (2) 各二项式系数之和为，即； (3) 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． (4)二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 考点一 计数原理 1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 2．用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（    ）