专题11 与球有关的切接问题综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题11 与球有关的切接问题综合 知识点1 常见的外接球模型 1、墙角模型 适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、麻花模型 适用范围：对棱相等相等的三棱锥 对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为， ，，，列方程组， ， 补充： 第三步：根据墙角模型，， ，，求出. 3、垂面模型 适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。 推导过程： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点， 作小圆的直径,连接,则 必过球心. 第二步：为的外心，所以平面， 算出小圆的半径 (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理. 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： （1）； （2）. 公式： 4、切瓜模型 适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为， 连接、、、为矩形 由勾股可得 公式： 5、斗笠模型 适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥 推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理 公式： 6、矩形模型 适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径 取斜边的中点，连接，则 所以点即为球心，然后在中解出半径 公式：（为斜边长度） 7、折叠模型 适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠. 推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠， 设折叠的二面角 . 如图，作左图的二面角剖面图如右图： 和分别为外心， 分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心 由勾股定理可得：. 公式： 知识点2 多面体的内切球 1、正方体的内切球 正方体的内切球球心位于其对角线中点处， 对于变成为的正方体，其内切球半径为. 2、直棱柱的内切球 以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆， 故直三棱柱内切球半径等于底面三角形内切圆半径， 又因为内切球到上下底面距离相等且都为， 故仅有满足的直三棱柱有内切球，其中为直三棱柱的高 3、棱锥的内切球 1、方法：一般采用等体积法 2、结论： （1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2）若正四面体的棱长为，则其内切球的半径为. 3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为， 则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R， 设，，，的面积分别为，，， 则， 即+， 所以 【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。 特别的：轴截面法 对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。 以正四棱锥为例推导： 设、分别为棱、的中点， 则的内切圆即为该正四棱锥的内切球的大圆， 该内切圆的半径为内切球的半径：（等面积法可得） 知识点3 旋转体的内切球 1、圆柱的内切球 不是所有的圆柱独有内切球， 只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足， 即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球， 此时内切球的半径为圆柱的底面半径. 2、圆锥的内切球 圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆， 内切圆的半径即为内切球的半径， 设圆锥底面半径为，高为， 则，， 所以 考点1 墙角模型求外接球 【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____． 【变式1-1】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·全国·高一专题练习）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表