第18讲 导数的最值（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第18讲 导数的最值 1.函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值； 若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2.恒成立问题： (1)恒成立；恒成立． (2)恒成立；恒成立． (3)恒成立；恒成立； (4)，，． 3.常用结论 (1)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 考点一 利用导数求解函数的最值 考点二 利用导数解决恒能成立问题 考点三 利用导数证明不等式 考点一：利用导数求解函数的最值 例1．函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】利用导数讨论单调性并求最值. 【详解】由题意可得， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是． 故选:C. 例2．函数在区间上的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， 当时，，， 所以在区间单调递减，故函数最大值为， 故选：B 考点二：利用导数解决恒能成立问题 例3．函数，若恒有，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得. 【详解】由题可得， 由，可得，此时单调递减， 由，可得，此时单调递增， ∴， ∴. 故选：C. 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将题意转化为对，，都有，构造函数得到在为减函数，从而得到，恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案. 【详解】因为对，，都有成立， 所以对，，都有. 设，则在为减函数. ， 等价于，恒成立， 即，恒成立. 设，， 所以，，为减函数， ，，为增函数， 所以，所以，即. 故选：C 考点三：利用导数证明不等式 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】构造函数， 在时恒成立， 所以在时单调递增， 所以，即，所以， 故选:C. 例6．以下不等式在时不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于取特值即可判断. 【详解】对于，令，则，当，单调递增，当，单调递减，，即，因此正确. 对于，令，当时，恒成立，在单调递增，，即，因此正确. 对于，令，令，则，不满足，因此不正确. 对于，令，当时，恒成立，在单调递增，，即，因此正确. 故选：C. 一、单选题 1．在区间上的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出函数在区间上的极值，然后比较极值和区间端点的函数值大小，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示， 0 + 0 - 单调递增 2 单调递减 因此，当时，有极大值，并且极大值为， 又由于， 所以函数在区间上的最小值是-2. 故选：B 2．函数在上的最大值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值. 【详解】，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故. 故选：B 3．函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值. 【详解】∵， ∴， 当时， ∴函数在区间上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，， ∴函数在上的最小值为. 故选：A. 4．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先不等式恒成立转化为，然后利用导数求函数的最大值，即可求解. 【详解】，令，得或.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，所以 因为对任意的有恒成立，所以，即. 故选：C 5．已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，＋∞） B．（－∞，－3） C．（－∞，1] D．[3，＋∞） 【答案】C 【分析】将问题转化为有解，令利用导数求出其最大值即可. 【详解】存在x0>0，使得f（x0）≤0有解， 即有解，即， 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 故选：C. 6．（2022·全国·高三专题练习