第19讲 导数的综合应用（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第19讲 导数的综合应用 1.利用图象研究函数零点个数时的注意点： (1)对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数。那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意： 1)通常先要用导数研究单调性、极值。 2)渐近线（实际上是极限问题），有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等 (2)对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数，那么研究哪两个函数呢？ 1)尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象）， 2)能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数， 3)不方便分参的，尽量将参数放在熟悉的基本函数上. 2.导数的综合应用题中，最常见的就是和与其他代数式结合的难题： 对于这类问题，可以先对和进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下： (1)，当且仅当时，取等号; (2)，当且仅当时，取等号; (3)当时，，当且仅当时，取等号; (4)，当且仅当时，取等号; (5)当时，，当且仅当时，取等号. 考点一 利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 考点二 构造函数法解决导数问题 考点三 利用二次求导法解决导数问题 考点一：利用导数解决函数的零点，交点或方程的根的问题 例1．函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A．（﹣4，4） B．[﹣4，4] C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 【答案】A 【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性和极值，结合题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使得函数有三个零点，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则在上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．2023 【答案】B 【分析】先求导,分和两种情况进行讨论的正负,进而判断单调性,再判断正负,即可判断零点个数. 【详解】解:由题知 所以, 当时, 当时, , 当时，，； 当时，，； 故， 综上， 在上单调递增, 因为, 故函数在上有1个零点. 故选:B 考点二：构造函数法解决导数问题 例3．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果. 【详解】设，则，因为，所以在上单调递减. 因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为. 故选：B. 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导可得的单调性，进而可求解. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在R上单调递减. 不等式等价于不等式， 即.因为， 所以， 所以.因为在R上单调递减， 所以，解得. 故选:B 考点三：利用二次求导法解决导数问题 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出，令、，解不等式即可； (2)将原不等式变形为，设， 利用二次求导讨论的单调性，根据零点的存在性定理讨论的零点，进而求出的极值即可. （1） 的定义域为R，， 当时，，则在R上为增函数； 当时，， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数． （2） 由及，得． 设，则． 设，则， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以是的极小值点，也是的最小值点， 因为，，所以， 又，所以存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以为的极大值，为的极小值， 因为，所以当时，（当且仅当时取等号）， 故当时，． 一、单选题 1．已知函数，，，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求时，函数的零点，再根据为偶函数，可得时，函数还有一个零点，由此可得答案. 【详解】当时，，所以不是函数的零点， 因为，所以，所以为偶函数， 当时，，，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 所以当时，有唯一零点， 又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点， 综上所述：函数的零点个数为. 故选：A 2．若函数存在零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数存在零点，即方程有根，构造同构的形