13.3 复 数-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

3 数学归纳法的应用 10. (2017·浙江,22,15分,★★★★) 已知数 列 {xn} 满 足:x1 = 1,xn = xn+1 + ln 1 + xn+1( ) (n ∈ N∗) . 证 明: 当 n ∈ N∗ 时, (1)0 < xn+1 < xn; (2)2xn+1 - xn ≤ xnxn+1 2 ; (3) 1 2n-1 ≤ xn ≤ 1 2n-2 . 11. (2015·江苏,23,10分,★★★★) 已知集 合 X = {1,2,3},Yn = {1,2,3,…,n}(n ∈ N∗),设 Sn = {(a,b) | a整除 b或 b整除 a, a ∈ X,b ∈ Yn} . 令 f(n) 表示集合 Sn 所含 元素的个数. (1) 写出 f(6) 的值; (2) 当 n ≥ 6 时,写出 f(n) 的表达式,并用 数学归纳法证明. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13. 3　 复 　 　 数 1 复数的概念 1. (2022·全国卷乙,2,5 分,★) 已知 z = 1 - 2i,且 z + a􀭰z + b = 0,其中 a,b 为实数,则 (　 　 ) A. a = 1,b =- 2 B. a =- 1,b = 2 C. a = 1,b = 2 D. a =- 1,b =- 2 2. (2022·全国卷乙(文),2,5 分,★) 设(1 + 2i)a + b = 2i,其中 a,b 为实数,则 (　 　 ) A. a = 1,b =- 1 B. a = 1,b = 1 C. a =- 1,b = 1 D. a =- 1,b =- 1 3. (2022·浙江,2,4分,★) 已知 a,b ∈ R,a + 3i = (b + i) i( i 为虚数单位),则 (　 　 ) A. a = 1,b =- 3 B. a =- 1,b = 3 C. a =- 1,b =- 3 D. a = 1,b = 3 4. (2021·全国卷乙,1,5 分,★★) 设 2( z + z) +3( z - z) = 4 + 6i,则 z = (　 　 ) A. 1 - 2i B. 1 + 2i C. 1 + i D. 1 - i 5. (2020·全国卷Ⅲ,2,5分,★) 复数 1 1 - 3i 的 虚部是 (　 　 ) A. - 3 10 B. - 1 10 C. 1 10 D. 3 10 6. (2020·浙江,2,4分,★) 已知 a∈R,若 a - 1 + (a - 2)i(i 为虚数单位) 是实数,则 a = (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2 7. (2017·全国卷Ⅰ(文),3,5分,★★★) 下 列各式的运算结果为纯虚数的是 (　 　 ) A. i(1 + i) 2 B. i2(1 - i) C. (1 + i) 2 D. i(1 + i) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 132 8. (2016·全国卷Ⅰ(文),2,5分,★) 设(1 + 2i)(a + i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实 数,则 a = (　 　 ) A. - 3 B. - 2 C. 2 D. 3 9. (2020·江苏,2,5 分,★) 已知 i 是虚数单 位, 则复数 z = (1 + i)(2 - i) 的实部 是 . 10. (2019·江苏,2,5 分,★) 已知复数(a + 2i)(1 + i) 的实部为 0,其中 i 为虚数单位, 则实数 a 的值是 . 11. (2018·江苏,2,5 分,★) 若复数 z 满足 i· z = 1 + 2i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部 为 . 12. (2017·天津,9,5分,★) 已知 a ∈ R,i 为 虚数单位, 若 a - i 2 + i 为实数, 则 a 的值 为 . 13. (2016·江苏,2,5 分,★) 复数 z = (1 + 2i)(3 - i),其中 i 为虚数单位,则 z的实部 是 . 14. (2015·天津,9,5 分,★) i 是虚数单位,若 复数(1 - 2i)(a + i) 是纯虚数,则实数 a的 值为 . 2 复数的运算 15. (2022·全国卷甲,1,5分,★) 若 z = - 1 +