12.6 正态分布-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

值. 已知每件产品的检验费用为 2 元,若有 不合格品进入用户手中,则工厂要对每件 不合格品支付 25 元的赔偿费用. ① 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱 产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X, 求 E(X); ② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为 决策依据,是否该对这箱余下的所有产品 作检验? 21. (2015·湖南,20,12分,★★★) 某商场举 行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品 后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只 有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则 不获奖. (1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2) 若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客 在3 次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的 分布列和数学期望. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12. 6　 正 态 分 布 正态分布的应用 1. (2021·新高考卷 II,6,5 分,★★) 某物理 量的测量结果服从正态分布 N(10,σ2) ,则 下列结论中不正确的是 (　 　 ) A. σ 越小, 该物理量一次测量结果落在 (9. 9,10. 1) 内的概率越大 B. 该物理量一次测量结果大于 10 的概 率为 0. 5 C. 该物理量一次测量结果大于 10. 01 的概 率与小于 9. 99 的概率相等 D. 该物理量一次测量结果落在 (9. 9, 10. 2) 内的概率与落在(10,10. 3) 内的 概率相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 222 2. (2015·山东,8,5 分,★) 已知某批零件的 长度误差 ( 单位: 毫米) 服从正态分布 N 0,32( ) ,从中随机取一件,其长度误差落 在区间(3,6) 内的概率为 (　 　 ) (附:若随机变量 ξ服从正态分布N μ,σ2( ) , 则 P(μ - σ <ξ < μ + σ) = 68. 26%,P(μ - 2σ < ξ < μ + 2σ) = 95. 44%) A. 4. 56% B. 13. 59% C. 27. 18% D. 31. 74% 3. (2015·湖南,7,5 分,★) 在如图所示的正 方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部 分(曲线 C 为正态分布 N(0,1) 的密度曲 线) 的点的个数的估计值为 (　 　 ) (附:若X ~ N(μ,σ2),则P(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.682 6,P(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 4) A. 2 386 B. 2 718 C. 3 413 D. 4 772 4. (2015·湖北,4,5 分,★★) 设 X ~ N(μ1, σ21),Y ~ N(μ2,σ22),这两个正态分布密度 曲线如图所示,则下列结论中正确的是 (　 　 ) A. P(Y ≥ μ2) ≥ P(Y ≥ μ1) B. P(X ≤ σ2) ≤ P(X ≤ σ1) C. 对任意正数 t,P(X ≤ t) ≥ P(Y ≤ t) D. 对任意正数 t,P(X ≥ t) ≥ P(Y ≥ t) 5. (2022·新高考卷Ⅱ,13,5分,★★) 已知随 机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2 < X ≤ 2 . 5 ) = 0 . 3 6 ,则 P( X > 2 . 5 ) = . 6. (2017·全国卷 Ⅰ,19,12 分,★★★★) 为 了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件,并测量其尺寸(单位:cm) . 根据长期生 产经验,可以认为这条生产线在正常状态下 生 产 的 零 件 的 尺 寸 服 从 正 态 分 布 N(μ,σ2) . (1) 假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽 取的 16 个零件中其尺寸在(μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的零件数,求 P(X ≥ 1) 及 X 的数 学期望. (2) 一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的零件,就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异 常情况,