12.1 随机事件的概率-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

第十二章 　 概 　 率 12. 1　 随机事件的概率 1 随机事件的频率与概率 1. (2020·山东,12,5 分,★★★★) 信息熵是 信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有 可能的取值为 1,2,…,n,且 P(X = i) = pi > 0(i = 1,2,…,n),∑ n i = 1 pi = 1,定义X的信息熵 H(X) = - ∑ n i = 1 pilog2pi . (　 　 ) A. 若 n = 1,则 H(X) = 0 B. 若 n = 2,则 H(X) 随着 p1 的增大而增大 C. 若 pi = 1 n (i = 1,2,…,n),则 H(X) 随着 n 的增大而增大 D. 若 n = 2m,随机变量 Y所有可能的取值为 1,2,…,m,且P(Y = j) = p j + p2m+1-j( j = 1, 2,…,m),则 H(X) ≤ H(Y) 2. (2019·全国卷Ⅱ,13,5分,★★) 我国高铁 发展迅速,技术先进. 经统计,在经停某站 的高铁列车中, 有 10 个车次的正点率为 0. 97,有 20 个车次的正点率为 0. 98,有 10 个车次的正点率为 0. 99,则经停该站高铁 列车所有车次的平均正点率的估计值 为 . 3. (2020·全国卷Ⅰ(文),17,12 分,★★★) 某 厂接受了一项加工业务,加工出来的产品 (单位: 件) 按标准分为 A,B,C,D 四个等 级. 加工业务约定:对于 A级品、B级品、C级 品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元, 20 元;对于 D 级品,厂家每件要赔偿原料损 失费 50 元. 该厂有甲、乙两个分厂可承接加 工业务. 甲分厂加工成本费为 25 元 / 件,乙 分厂加工成本费为20元 / 件. 厂家为决定由 哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加 工了 100 件这种产品,并统计了这些产品的 等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件 产品为 A 级品的概率; (2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件 产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家 应选哪个分厂承接加工业务? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 791 4. (2015·北京(文),17,13 分,★★★) 某超 市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买 甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下 统计表, 其中 “√” 表示购买, “ × ” 表示 未购买. 　 　 　 商品 顾客人数 　 　 　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2) 估计顾客在甲、 乙、 丙、 丁中同时购 买 3 种商品的概率; (3) 如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买 乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 5. (2015·四川(文),17,12 分,★★★) 一辆 小客车上有 5 个座位,其座位号为 1,2,3,4, 5,乘客 P1,P2,P3,P4,P5 的座位号分别为 1, 2,3,4,5,他们按照座位号顺序先后上车,乘 客P1 因身体原因没有坐自己1号座位,这时 司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果 自己的座位空着,就只能坐自己的座位. 如 果自己的座位已有乘客就座,就在这 5 个座 位的剩余空位中选择座位. (1) 若乘客P1 坐到了 3 号座位,其他乘客按 规则就座,则此时共有 4 种坐法. 下表给出 其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘 客就座的座位号填入表中空格处) . 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2) 若乘客P1 坐到了 2 号座位,其他乘客按 规则就座,求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率. 6. (2015·陕西,19,12分,★★★) 设某校新、 老校区之间开车单程所需时间为 Τ,Τ 只与 道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本 进行统计,结果如下: Τ(分钟) 25 30