9.8 曲线与方程&9.9 圆锥曲线的综合问题-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

28. (2015·全国卷Ⅰ,20,12分,★★★) 在直 角坐标系 xOy 中, 曲线 C:y = x 2 4 与直线 l:y = kx + a(a > 0) 交于 M,N 两点. (1) 当 k = 0 时,分别求 C在点M和N处的 切线方程. (2)y轴上是否存在点 P,使得当 k变动时, 总有 ∠OPM = ∠OPN? 说明理由. 29. (2015·湖南,20,13分,★★★★★) 已知 抛物线 C1:x2 = 4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: y2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . (1) 求 C2 的方程. (2) 过点F的直线 l与C1 相交于A,B两点, 与 C2 相交于 C,D 两点,且AC → 与BD→同向. (ⅰ) 若 AC = BD ,求直线 l 的斜率; (ⅱ) 设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点 为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9. 8　 曲线与方程 1 定义法求轨迹方程 1. (2018·上海,6,4 分,★★) 已知平面上动 点 P到两个定点(1,0) 和( - 1,0) 的距离之 和 等 于 4, 则 动 点 P 的 轨 迹 方 程 为 . 2 直译法求轨迹方程 2. (2021·浙江,9,4 分,★★★) 已知 a,b ∈ R,ab > 0,函数 f(x) = ax2 + b(x ∈ R) . 若 f( s - t),f( s),f( s + t) 成等比数列,则平面 上点( s,t) 的轨迹是 (　 　 ) A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 3. (2020·全国卷Ⅲ(文),6,5分,★★★) 在 平面内,A,B 是两个定点,C 是动点. 若AC→· BC→ = 1,则点 C 的轨迹为 (　 　 ) A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 3 相关点法(代入法) 求轨迹方程 4. (2020·上海,15,5 分,★★) 已知椭圆x 2 2 + y2 = 1,作垂直于 x轴的垂线交椭圆于A,B两 点,作垂直于 y 轴的垂线交椭圆于 C,D 两 点,且 AB = CD,两垂线相交于点 P,则点 P 的轨迹是 (　 　 ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 861 4 曲线与方程的关系 5. (2020·山东,9,5 分,★★★) 已知曲线 C: mx2 + ny2 = 1. (　 　 ) A. 若m > n > 0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B. 若 m = n > 0,则 C 是圆,其半径为 n C. 若mn < 0,则 C是双曲线,其渐近线方程 为y = ± - m n x D. 若 m = 0,n > 0,则 C 是两条直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9. 9　 圆锥曲线的综合问题 1 圆锥曲线中的弦长与面积问题 1. (2022·新高考卷Ⅰ,21,12 分,★★★★) 已 知点 A(2,1) 在双曲线 C: x 2 a2 - y 2 a2 - 1 = 1(a > 1) 上, 直线 l交C于P, Q两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 0. (1) 求 l 的斜率; (2) 若 tan∠PAQ = 2 2 ,求 △PAQ 的面积. 2. (2020·全国卷Ⅲ,20,12分,★★★★) 已知椭 圆 C:x 2 25 + y 2 m2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为 15 4 ,A,B 分别为 C 的左、右顶点. (1) 求 C 的方程; (2) 若点 P在 C上,点 Q在直线 x = 6 上,且 | BP | =| BQ | ,BP ⊥ BQ,求 △APQ的面积. 3. (2019·全国卷 Ⅰ,19,12 分,★★★★) 已 知抛物线 C:y2 = 3x 的焦点为 F,斜率为 3 2 的 直线 l 与 C的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1) 若 | AF | +| BF | = 4,求 l 的方程; (2) 若AP→ =