8.6 空间向量与立体几何-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

35. (2015·福建(文),20,12分,★★★★) 如 图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO = OB = 1. (1) 若 D 为线段 AC 的中点,证明 AC ⊥ 平 面 PDO; (2) 求三棱锥 P - ABC 体积的最大值; (3) 若BC = 2,点E在线段PB上,求CE + OE 的最小值. 36. (2015·山东(文),18,12分,★★★)如图,三 棱台 DEF - ABC 中,AB = 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1) 证明:BD ∥ 平面 FGH. (2) 若 CF ⊥ BC,AB ⊥ BC, 证明: 平面 BCD ⊥ 平面 EGH. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 6　 空间向量与立体几何 1 利用向量法证明空间中的平行与垂直 1. (2019·天津,17,13分,★★★)如图,AE⊥ 平面 ABCD,CF ∥ AE,AD ∥ BC,AD ⊥ AB, AB = AD = 1,AE = BC = 2. (1) 证明 BF ∥ 平面 ADE; (2) 求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正 弦值; (3) 若二面角 E - BD - F的余弦值为 1 3 ,求 线段 CF 的长. 2. (2018·北京,16,14分,★★★★) 如图,在 三棱柱 ABC - A1B1C1 中,CC1 ⊥ 平面 ABC, D,E,F,G 分别为 AA1,AC,A1C1,BB1 的中 点,AB = BC = 5 ,AC = AA1 = 2. (1) 证明:AC ⊥ 平面 BEF. (2) 求二面角 B CD C1 的余弦值. (3) 证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631 3. (2018·天津,17,13 分,★★★★) 如图, AD ∥ BC且 AD = 2BC,AD ⊥ CD,EG ∥ AD 且EG = AD,CD∥FG且CD = 2FG,DG⊥平 面 ABCD,DA = DC = DG = 2. (1) 若M 为 CF的中点,N 为 EG的中点,证 明 MN ∥ 平面 CDE; (2) 求二面角 E - BC - F 的正弦值; (3) 若点P在线段DG上,且直线BP与平面 ADGE 所成的角为 60°,求线段 DP 的长. 2 利用向量法求异面直线所成角 4. (2015·四川,14,5 分,★★★) 如图,四边 形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的 平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点. 设异面直线 EM 与 AF 所 成 的 角 为 θ, 则 cos θ 的 最 大 值 为 . 5. (2018·江苏,25,10分,★★★) 如图,在正三 棱柱 ABC - A1B1C1 中,AB = AA1 = 2,点 P,Q 分别为 A1B1,BC 的中点. (1) 求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余 弦值; (2) 求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正 弦值. 6. (2015·全国卷Ⅰ,18,12分,★★★) 如图, 四边形 ABCD为菱形,∠ABC = 120°,E,F是 平面 ABCD 同一侧的两点, BE ⊥ 平面 ABCD,DF ⊥ 平 面 ABCD,BE = 2DF, AE ⊥ EC. (1) 证明:平面 AEC ⊥ 平面 AFC. (2) 求直线 AE与直线 CF所成角的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731 3 利用向量法求线面